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Sección 2.6 Números Primos

Definición 2.6.1.
(Número Primo) Se dice que un número entero \(p\) es primo si verifica
  1. \(p \neq \left\lbrace 0,\pm 1\right\rbrace\text{.}\)
  2. Los únicos divisores de \(p\) son \(\pm 1\) y \(\pm p\text{.}\)

A partir de la Definición 2.6.1, un número entero \(n\) se denomina compuesto si no es primo.

El siguiente resultado es útil como prueba de primalidad. Sin embargo, su efectividad es limitada (no es eficaz a la hora de trabajar con números extensos).

La siguiente aplicación de Sage permite verificar si un número entero es primo o no.

Del Lema de Euclides, se desprende el siguiente resultado (Corolario 2.6.5).

Para el siguiente resultado (Proposición 2.6.6), proporcionaremos la demostración realizada por Euclides. ¡Es muy interesante y existen diversas demostraciones!

El siguiente resultado (Teorema 2.6.7) fue establecido por Dirichlet y su demostración se escapa del alcance de este curso. ¡Es uno de los resultados más maravillosos sobre números primos!

Del Teorema 2.6.7 se derivan ejercicios muy interesantes (ver Ejercicio 4.6.8).

Para finalizar esta sección, proporcionaremos el Teorema de los Números Primos. Al igual que el Teorema 2.6.7, su demostración se escapa del alcance de un curso introductorio al Álgebra.

¿Cómo interpretar el Teorema 2.6.9? Los números primos se vuelven cada vez más escasos a medida que se avanza por la recta real.

Nuevamente Sage nos proporcionará una herramienta para calcular \(\pi(x)\text{.}\)