Rango de una Matriz y Teorema de Rouché

Sección 5.5 Rango de una Matriz y Teorema de Rouché - Fröbenius

Definición 5.5.1.

(Rango de una Matriz) Sea \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Se define el rango de la matriz \(A\) como el número de filas no nulas de la matriz escalonada (por filas) equivalente con \(A\text{.}\) Se denota mediante ran \((A)\text{.}\)

Observación 5.5.2.

Considere \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \text{ran}(A) \le m. \end{equation*}

Proposición 5.5.3.

Sea \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \text{ran}(A^{t})=\text{ran}(A). \end{equation*}

Observación 5.5.4.

Las propiedades que se exhiben en la presente observación, serán de bastante utilidad; pues nos proporcionarán un algorítmo que permitirá calcular el rango de una matriz.

El rango de una matriz no varia mediante operaciones elementales filas.
El rango de una matriz escalonada es el número de filas no nulas.

La Definición 5.5.5 nos proporciona dicho algorítmo, mencionado en la Observación 5.5.4.

Definición 5.5.5.

(Algorítmo del Rango) Para calcular el rango de una matriz \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{,}\) se deben cumplir los siguientes pasos:

Realizar sucesivas operaciones elementales filas en la matriz \(A\text{.}\) De esta manera, se obtiene la forma escalonada equivalente a la matriz \(A\text{.}\) A tal matriz escalonada, la llamaremos \(E\text{.}\)
Al obtener la matriz escalonada \(E\) (equivalente con \(A\)), se debe calcular la cantidad de filas no nulas.

Si el número de filas no nulas de la matriz \(E\) es \(r\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \text{ran}(A) = r. \end{equation*}

Veamos dos ejemplos concretos en los cuales podemos poner en práctica este algoritmo (Ejemplos 5.5.6 y 5.5.7).

Ejemplo 5.5.6.

Se calculará el rango de la matriz \(A\in \mathcal{M}_{3\times 4}(F)\)

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ -3 & 6& 10& 8\\ -2 & 4 & 7&6 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por el algorítmo (Definición 5.5.5), debemos obtener la forma escalonada de la matriz \(A\text{.}\) Por lo tanto, debemos realizar operaciones elementales filas. Se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ -3 & 6& 10& 8\\ -2 & 4 & 7&6 \\ \end{pmatrix}\,\, -2F_{1}+F_{3}\to F_{3} \,\sim\, \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ -3 & 6& 10& 8\\ 0 & 0 & 1&2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ -3 & 6& 10& 8\\ 0 & 0 & 1&2 \\ \end{pmatrix}\,\, -3F_{1}+F_{2}\to F_{2} \,\sim\, \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ 0 & 0& 1& 2\\ 0 & 0 & 1&2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ 0 & 0& 1& 2\\ 0 & 0 & 1&2 \\ \end{pmatrix}\,\, -F_{2}+F_{3}\to F_{3} \,\sim\, \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ 0 & 0& 1& 2\\ 0 & 0 & 0&0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3&2 \\ 0 & 0& 1& 2\\ 0 & 0 & 0&0 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está en forma escalonada. De esta manera, por el algorítmo; se debe calcular la cantidad de filas no nulas. Se sigue que son dos (¿Por qué?). Por algorítmo (Definición 5.5.5), se tiene que ran \((A)=2\text{.}\)

Ejemplo 5.5.7.

Se calculará el rango de la matriz \(B\in \mathcal{M}_{3\times 3}(F)\)

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3& -1\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por el algorítmo (Definición 5.5.5), debemos obtener la forma escalonada de la matriz \(B\text{.}\) Por lo tanto, debemos realizar operaciones elementales filas. Se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3& -1\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}\,\, -\dfrac{1}{3}F_{1}+F_{2}\to F_{2} \,\sim \, \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix} \,\,\dfrac{2}{3}F_{1}+F_{3}\to F_{3} \,\sim \, \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ 0 & \dfrac{7}{3}& \dfrac{14}{3}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ 0 & \dfrac{7}{3}& \dfrac{14}{3}\\ \end{pmatrix}\,\, F_{3}-F_{2}\to F_{3} \,\sim\, \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ 0 & 0& 6\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & \dfrac{7}{3}& -\dfrac{4}{3}\\ 0 & 0& 6\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está en forma escalonada. De esta manera, por el algorítmo; se debe calcular la cantidad de filas no nulas. Se sigue que son tres (¿Por qué?).

Por algorítmo (Definición 1.5.4), se tiene que ran \((B)=3\text{.}\)

Estamos en condiciones suficientes para proporcionar el gran resultado de este capítulo: el teorema de Rouche - Fröbenius (mejor conocido como teorema del rango o teorema de existencia de soluciones en un sistema de ecuaciones lineales).

Teorema 5.5.8.

(Rouche - Fröbenius) Considere el sistema de \(m\) ecuaciones lineales y \(n\) incognitas: \(A\vec{x}=\vec{b}\text{;}\) con \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{,}\) \(\vec{x}\in \mathcal{M}_{n\times 1}(F)\text{,}\) \(\vec{b}\in \mathcal{M}_{m\times 1}(F)\) y la matriz ampliada \((A:b)\text{.}\) Entonces

Si ran \((A)=\) ran \((A:b)=n\text{,}\) entonces el sistema tiene solución única.
Si ran \((A)=\) ran \((A:b)\lt n\text{,}\) entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
Si ran \((A)\lt\) ran \((A:b)\text{,}\) entonces el sistema no tiene solución.

Veamos tres ejemplos concretos, en los cuales podemos poner en práctica este gran resultado.

Ejemplo 5.5.9.

Utilizando el Teorema de Rouche - Fröbenius , determinaremos el tipo de solución que posee el sistema

\begin{equation*} \begin{cases} -x+2y+z=1,\\ 3x-5y+z=-14,\\ -4x+7y+5z=0.\\ \end{cases} \end{equation*}

Consideraremos la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones. Es decir

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 3 & -5 & 1&\,\,:\, -14 \\ -4 & 7 & 5&:\, 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Procederemos a calcular el rango de la matriz ampliada. Por el algorítmo del rango (Definición 5.5.5); debemos encontrar su forma escalonada. Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 3 & -5 & 1&\,\,:\, -14 \\ -4 & 7 & 5&:\, 0 \\ \end{pmatrix} \,\, -4F_{1}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 3 & -5 & 1&\,\,:\, -14 \\ 0 & -1 & 1&:\, -4 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 3 & -5 & 1&\,\,:\, -14 \\ 0 & -1 & 1&:\, -4 \\ \end{pmatrix} \,\, 3F_{1}+F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, -11 \\ 0 & -1 & 1&:\, -4 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, -11 \\ 0 & -1 & 1&:\, -4 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, -11 \\ 0 & 0 & 5&:\, -15 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, -11 \\ 0 & 0 & 5&:\, -15 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está en forma escalonada. De esta manera, por el algorítmo; se debe calcular la cantidad de filas no nulas. Se tiene que

\begin{equation*} \text{ran}(A) = \text{ran}(A:b)=3, \end{equation*}

donde 3 también corresponde al número de incognitas que presenta el sistema de ecuaciones.

Por Teorema de Rouche - Fröbenius; el sistema de ecuaciones posee solución única (la cual se determinará en la sección siguiente: Sistemas de Ecuaciones Lineales II).

Ejemplo 5.5.10.

Utilizando el Teorema de Rouche - Fröbenius , determinaremos el tipo de solución que posee el sistema

\begin{equation*} \begin{cases} x+2y+z=3,\\ 3x+5y+z=-1.\\ \end{cases} \end{equation*}

Consideraremos la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones. Es decir

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 3 & 5 & 1&:\, -1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Procederemos a calcular el rango de la matriz ampliada. Por el algorítmo del rango (Definición 5.5.5); debemos encontrar su forma escalonada. Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 3 & 5 & 1&:\, -1 \\ \end{pmatrix} \,\, -3F_{1}+2F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 0 & -1 & -2&:\, -10 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 0 & -1 & -2&:\, -10 \\ \end{pmatrix} \,\, -F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 0 & 1 & 2&:\, 10 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 0 & 1 & 2&:\, 10 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está en forma escalonada. De esta manera, por el algorítmo; se debe calcular la cantidad de filas no nulas. Se tiene que

\begin{equation*} \text{ran}(A) = \text{ran}(A:b)=2. \end{equation*}

Por otro lado, la cantidad de incognitas que posee el sistema de ecuaciones es 3.

Como \(\text{ran}(A) = \text{ran}(A:b)=2\lt 3\text{,}\) por Teorema de Rouche - Fröbenius; el sistema de ecuaciones posee infinitas soluciones (el conjunto solución se determinará en la sección siguiente: Sistemas de Ecuaciones Lineales II).

Ejemplo 5.5.11.

Utilizando el Teorema de Rouche - Fröbenius , determinaremos el tipo de solución que posee el sistema

\begin{equation*} \begin{cases} -x+2y+z=2,\\ -3x+5y+z=-1,\\ -4x+7y=5.\\ \end{cases} \end{equation*}

Consideraremos la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones. Es decir

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ -3 & 5 & 1&\,\,:\, -1 \\ -4 & 7 & 0&:\, 5 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Procederemos a calcular el rango de la matriz ampliada. Por el algorítmo del rango (Definición 5.5.5); debemos encontrar su forma escalonada. Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ -3 & 5 & 1&\,\,:\, -1 \\ -4 & 7 & 0&:\, 5 \\ \end{pmatrix} \,\, -4F_{1}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ -3 & 5 & 1&\,\,:\, -1 \\ 0 & -1 & -4&:\, -3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ -3 & 5 & 1&\,\,:\, -1 \\ 0 & -1 & -4&:\, -3 \\ \end{pmatrix} \,\, 3F_{1}+F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, 5 \\ 0 & -1 & -4&:\, -3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, 5 \\ 0 & -1 & -4&:\, -3 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, 5 \\ 0 & 0 & 0&:\, 2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 2 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, 5 \\ 0 & 0 & 0&:\, 2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está en forma escalonada. De esta manera, por el algorítmo; se debe calcular la cantidad de filas no nulas. Se tiene que

\begin{equation*} \text{ran}(A) = 2, \end{equation*}

\begin{equation*} \text{ran}(A:b) = 3, \end{equation*}

donde 3 también corresponde al número de incognitas que presenta el sistema de ecuaciones.

Como \(\text{ran}(A) = 2\lt \text{ran}(A:b) = 3\text{,}\) por Teorema de Rouche - Fröbenius; el sistema de ecuaciones no tiene solución.

El interact de Sage que permite trabajar con matrices (calcular el rango de una matriz) se encuentra en construcción. Mientras tanto, se adjunta el siguiente link a una página que cuenta con las mismas funciones. Esto les permitirá trabajar con matrices y verificar sus resultados paso a paso:

Calculadora del Rango de una Matriz: https://matrix.reshish.com/es/rank.php