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Sección 5.2 Tipos de Matrices

En esta sección, se estudiarán matrices que cumplen propiedades muy interesantes e importantes. Estas serán de suma importancia en el curso de Álgebra Lineal.

Definición 5.2.1.
(Matriz Transpuesta) Sea \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Se define la matriz transpuesta de \(A\) y se denota \(A^{t}\in \mathcal{M}_{n \times m}(F)\text{,}\) como
\begin{equation*} (a_{ij})^{t}:=a_{ji}, \end{equation*}

para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\) Es decir, la transpuesta se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz.

Considere la matriz \(A=\begin{pmatrix} 1& -2\\ -1& 0\\ 3& -1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 2}(F)\text{.}\) Se sigue que
\begin{equation*} A^{t}=\begin{pmatrix} 1& -1&3\\ -2& 0&-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2 \times 3}(F). \end{equation*}
Considere la matriz \(B=\begin{pmatrix} 0& 1 &1 &-1\\ -1& 0 &2 &0\\ 1& 0 &3 &-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F)\text{.}\) Se sigue que
\begin{equation*} B^{t}=\begin{pmatrix} 0& -1&1\\ 1& 0&0\\ 1& 2&3\\ -1& 0&-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 3}(F). \end{equation*}

A continuación, se exhiben una serie de propiedades interesantes que verifica la matriz transpuesta.

1. Considere \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Se sigue por Definición 5.2.1

\begin{equation*} (A^{t})^{t}=(a_{ij}^{t})^{t}=(a_{ji})^{t}=(a_{ij})=A, \end{equation*}
para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n.\)

2. Considere \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Se sigue por Definición 5.1.11

\begin{equation*} (A+B)^{t}=(a_{ij}+b_{ij})^{t}=(a+b)_{ij}^{t}, \end{equation*}
para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\) Usando la definición de matriz transpuesta, se sigue que
\begin{equation*} (a+b)_{ij}^{t}=(a+b)_{ji}=(a_{ji})+(b_{ji})=A^{t}+B^{t}. \end{equation*}

3. Considere \(CD=(cd)_{ij}\in \mathcal{M}_{m \times r}(F)\text{.}\) Por Definición 5.1.23, se tiene que

\begin{equation*} (cd)_{ij}^{t}=(cd)_{ji}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_{jk}d_{ki}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} d_{ki}c_{jk}, \end{equation*}
pues \(F\) es un cuerpo (y el producto conmutativo). Finalmente
\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} d_{ki}c_{jk}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} d_{ik}^{t}c_{kj}^{t}=(cd)_{ij}. \end{equation*}

Por lo tanto, \((CD)^{t}=D^{t}C^{t}\text{.}\)

El concepto de matriz transpuesta permite introducir las matrices simétricas y antisimétricas.

En lo que sigue de la presente sección (a menos que se especifique lo contrario), se trabajará con matrices cuadradas. Es decir, las matrices \(\mathcal{M}_{n \times n}(F)\) (que poseen la misma cantidad de filas y columnas).

Definición 5.2.5.
(Matriz Simétrica) Sea \(A\in \mathcal{M}_{n \times n}(F).\) Se dice que \(A\) es una matriz simétrica, si verifica
\begin{equation*} A^{t}=A. \end{equation*}
La matriz \(A=\begin{pmatrix} 1& 2 &3\\ 2& 4 &5 \\ 3& 5 &6\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\) es simétrica, pues
\begin{equation*} A^{t}=\begin{pmatrix} 1& 2&3\\ 2& 4&5\\ 3& 5&6\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F). \end{equation*}

Es decir, se tiene que \(A^{t}=A.\)

La matriz \(B=\begin{pmatrix} 1& 1 &-1\\ 0& 0 &1\\ 1& 5 &2\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\) no es simétrica, pues
\begin{equation*} B^{t}=\begin{pmatrix} 1& 0&1\\ 1& 0&5\\ -1&1&2\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F). \end{equation*}

Es decir, se tiene que \(B^{t}\neq B.\)

Por Proposición 5.2.4, se sigue que
\begin{equation*} (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B, \end{equation*}
pues \(A\) y \(B\) son matrices simétricas, que verifican \(A^{t}=A\) y \(B^{t}=B\text{.}\)
Observación 5.2.9.
No es necesariamente cierto que si \(A,B \in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) son matrices simétricas, entonces \((AB)^{t}=AB.\) (ver Ejemplo 5.2.10).
Considere el siguiente contraejemplo en \(\mathcal{M}_{3\times 3}(F)\) : Sean \(A=\begin{pmatrix} 8& -1&3\\ -1& 7&4\\ 3& 4&9\\ \end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix} 5& 1&3\\ 1& 8&2\\ 3& 1&5\\ \end{pmatrix}.\)

Note que \(A\) y \(B\) son matrices simétricas. Sin embargo; para el producto \(AB\text{,}\) se tiene

\begin{equation*} AB=\begin{pmatrix} 48& 3&37\\ 14& 59&31\\ 46& 44&62\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
que claramente no es simétrica (¿Por qué?).
Definición 5.2.11.
(Matriz Antisimétrica) Sea \(A\in \mathcal{M}_{n \times n}(F).\) Se dice que \(A\) es una matriz antisimétrica, si verifica
\begin{equation*} A^{t}=-A. \end{equation*}
La matriz \(A=\begin{pmatrix} 0& 1 &-8\\ -1& 0 &6 \\ 8& -6 &0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\) es antisimétrica, pues
\begin{equation*} A^{t}=\begin{pmatrix} 0& -1&8\\ 1& 0&-6\\ 8& 6&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F). \end{equation*}

Es decir, se tiene que \(A^{t}=-A.\)

La matriz \(B=\begin{pmatrix} 1& 1 &1\\ 1& -1 &1\\ 1& 1 &-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\) no es antisimétrica, pues
\begin{equation*} B^{t}=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1& -1&1\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F). \end{equation*}

Es decir, se tiene que \(B^{t}\neq -B.\)

Note que
\begin{equation*} A=\dfrac{1}{2}(A+A^{t})+\dfrac{1}{2}(A-A^{t}). \end{equation*}
Adicionalmente
\begin{equation*} \left( \dfrac{1}{2}(A+A^{t})\right)^{t}=\dfrac{1}{2}(A+A^{t})^{t}=\dfrac{1}{2}(A^{t}+(A^{t})^{t})=\dfrac{1}{2}(A^{t}+A)=\dfrac{1}{2}(A+A^{t}), \end{equation*}

por Proposición 5.2.4. Así, \(\left( \dfrac{1}{2}(A+A^{t})\right)^{t}=\dfrac{1}{2}(A+A^{t})\text{.}\) Por lo tanto, \(\dfrac{1}{2}(A+A^{t})\) es una matriz simétrica.

Por otro lado

\begin{equation*} \left( \dfrac{1}{2}(A-A^{t})\right)^{t}=\dfrac{1}{2}(A-A^{t})^{t}=\dfrac{1}{2}(A^{t}-(A^{t})^{t})=\dfrac{1}{2}(A^{t}-A)=-\dfrac{1}{2}(A-A^{t}), \end{equation*}

por Proposición 5.2.4. Así, \(\left( \dfrac{1}{2}(A-A^{t})\right)^{t}=-\dfrac{1}{2}(A-A^{t})\text{.}\) Por lo tanto, \(\dfrac{1}{2}(A-A^{t})\) es una matriz antisimétrica. Esto prueba el Teorema.

La siguiente matriz cobrará vital relevancia en el curso de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales, cuando deba "diagonalizar" una matriz.

Definición 5.2.15.
(Matriz Diagonal) Se dice que \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) es una matriz diagonal, si verifica
\begin{equation*} a_{ij}=0 \,\, \text{para todo}\,\ i\neq j\text{,} \end{equation*}
con \(i,j=1,...,n.\) Los elementos \(a_{11},a_{22},a_{33},...,a_{nn}\) (que verifican \(i=j\)), no necesariamente son nulos y componen la diagonal principal de la matriz \(A\text{.}\)
Observación 5.2.16.
Una matriz diagonal \(A\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) suele denotarse por
\begin{equation*} A=\text{diag}[a_{11},a_{22},...,a_{nn}], \end{equation*}
donde cada \(a_{ij}\text{,}\) con \((i=j)\text{;}\) corresponde a los elementos de la diagonal principal. Veamos unos ejemplos.
La matriz \(A=\begin{pmatrix} 2& 0 &0\\ 0& 3 &0\\ 0& 0 &-1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\) es diagonal.

Los elementos de la diagonal principal son \(2,3,-1\text{.}\) De esta forma, \(A\) se puede denotar como \(A=\text{diag}[2,3,-1]\)

La matriz \(B=\begin{pmatrix} 1& 0 &0&0\\ 0& 1 &0&0\\ 0& 0 &1&0\\ 1& 0 &0&1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 4}(F)\) no es diagonal.

Esto; pues la entrada \(a_{41}\) debiese ser nula ( \(4\neq 1\)), sin embargo no lo es.

Una matriz diagonal nos motiva a introducir el concepto de traza.

Definición 5.2.19.
(Traza de una Matriz) Sea \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\text{.}\) Se define la traza de la matriz \(A\) (y se denota \(\text{tr}(A)\)), como
\begin{equation*} \text{tr}(A):=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}\text{.} \end{equation*}

Es decir, la traza es la suma de los elementos que componen la diagonal principal de una matriz. La traza de una matriz es una aplicación

\begin{equation*} \text{tr}: \mathcal{M}_{n \times n}(F)\to F \end{equation*}
\begin{equation*} A \mapsto \text{tr}(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii} \end{equation*}
Sea \(A=\begin{pmatrix} 3& 5 &1&-1\\ 2& 2&1&4\\ 1& -1 &3&8\\ 4& 1 &0&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 4}(F)\text{.}\)

Entonces

\begin{equation*} \text{tr}(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{4} a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=3+2+3+0=8. \end{equation*}
Sea \(B=\begin{pmatrix} 1& 2 &3&4&5\\ 2& 2&3&4&5\\ 3& 3 &3&4&5\\ 4& 4 &4&4&5\\ 5& 5 &5&5&5\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{5 \times 5}(F)\text{.}\)

Entonces

\begin{equation*} \text{tr}(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{5} b_{ii}=\dfrac{5\cdot 6}{2}=15. \end{equation*}

Se aplicó la suma de Gauss.

La traza de una matriz cuadrada goza de las siguientes propiedades.

En 1, por Definición 5.2.19 y por Definición 5.1.11

\begin{equation*} \text{tr}(A)+ \text{tr}(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_{ii}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_{ii}+b_{ii})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a+b)_{ii}=\text{tr}(A+B)\text{.} \end{equation*}

En 2, por Definición 5.2.19 y por Definición 5.1.8

\begin{equation*} \text{tr}(\lambda \cdot A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lambda \cdot a_{ii}= \lambda \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}=\lambda \cdot \text{tr}(A)\text{.} \end{equation*}

Finalmente, en 3; haciendo uso de la Definición 5.2.19 y Definición 5.2.1

\begin{equation*} \text{tr}(A^{t})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}^{t}= \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}=\text{tr}(A)\text{.} \end{equation*}
Observación 5.2.23.
Con las propiedades 1 y 2 de la Proposición 5.2.22, se dice que la traza de una matriz (cuadrada) es un operador lineal. Usted ya está familiarizado con el concepto de operador lineal; pues el límite, la derivada e integral también lo son.
Definición 5.2.24.
(Matriz Triangularizada Inferiormente) Se dice que \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) es una matriz triangularizada inferiormente, si verifica
\begin{equation*} a_{ij}=0 \,\, \text{para todo}\,\ i\lt j\text{,} \end{equation*}
con \(i,j=1,...,n.\) Es decir, una matriz triangularizada inferiormente es aquella que posee todas sus entradas nulas sobre la diagonal principal.
Sea \(A=\begin{pmatrix} 1& 0 &0&0&0\\ 0& -1&0&0&0\\ -1& 0 &3&0&0\\ 2& 1&1&0&0\\ 3& -1 &1&0&2\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{5 \times 5}(F)\text{.}\)

Entonces \(A\) es triangularizada inferiormente (¿Por qué?).

Sea \(B=\begin{pmatrix} 1& 0 &0&1\\ 0& 1&0&0\\ -1& 0 &0&0\\ 0& -1&3&1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 4}(F)\text{.}\)

Entonces \(B\) no es triangularizada inferiormente (¿Por qué?).

Definición 5.2.27.
(Matriz Triangularizada Superiormente) Se dice que \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) es una matriz triangularizada superiormente, si verifica
\begin{equation*} a_{ij}=0 \,\, \text{para todo}\,\ i\gt j\text{,} \end{equation*}
con \(i,j=1,...,n.\) Es decir, una matriz triangularizada superiormente es aquella que posee todas sus entradas nulas bajo la diagonal principal.
Sea \(A=\begin{pmatrix} 1& -3 &1&2&0\\ 0& -1&8&7&-5\\ 0& 0&1&3&0\\ 0& 0&0&2&0\\ 0& 0&0&0&5\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{5 \times 5}(F)\text{.}\)

Entonces \(A\) es triangularizada superiormente (¿Por qué?).

Sea \(B=\begin{pmatrix} 1& -1 &3&5\\ 0& 4&1&3\\ -1& 0 &5&7\\ 0& 0&0&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 4}(F)\text{.}\)

Entonces \(B\) no es triangularizada superiormente (¿Por qué?).

Definición 5.2.30.
(Matriz Idempotente) Se dice que \(A\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) es una matriz idempotente, si verifica
\begin{equation*} A^{2}=AA=A.\text{,} \end{equation*}
Observación 5.2.31.
Si la matriz \(A\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\) es idempotente; entonces para todo \(n\) natural, se cumple que
\begin{equation*} A^{n}=A^{2}=A\text{.} \end{equation*}
Sea \(A=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2 \times 2}(F)\text{.}\)

Entonces \(A\) es idempotente, pues verifica

\begin{equation*} A^{2}=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\ \end{pmatrix}=A. \end{equation*}
Las matrices \(I_{n}\) (identidad de orden \(n\times n\)) y \(0_{n}\) (matriz nula de orden \(n\times n\)) son idempotentes. Además, verifican
\begin{equation*} I_{n}^{n}=I_{n}^{2}=I_{n}, \end{equation*}
\begin{equation*} 0_{n}^{n}=0_{n}^{2}=0_{n}, \end{equation*}
para \(n\) natural.

A continuación, se proporciona una definición muy sencilla de una matriz nilpotente. Está será clave en los cursos de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales.

Definición 5.2.34.
(Matriz Nilpotente) Se dice que \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(F)\) es nilpotente; si existe \(k\in \mathbb{N}\text{,}\) tal que
\begin{equation*} A^{k}=0_{n}. \end{equation*}
Definición 5.2.35.
(Orden de Nilpotencia) Sea \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(F)\text{,}\) una matriz nilpotente. Se define el orden de nilpotencia de \(A\) como el menor número natural \(m\text{,}\) que verifica \(A^{m}=0_{n}\) y \(A^{m-1}\neq 0_{n}.\)
Sea \(A=\begin{pmatrix} 6& -9 \\ 4& -6\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2 \times 2}(F)\text{.}\)

Entonces \(A\) es una matriz nilpotente de orden 2. Esto, pues claramente \(A\neq 0_{2}\) y

\begin{equation*} A^{2}=\begin{pmatrix} 6& -9 \\ 4& -6\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6& -9 \\ 4& -6\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Entonces se verifica \(A^{2}=0_{2}\text{.}\)

Sea \(B=\begin{pmatrix} 5&-3&2 \\ 15&-9&6 \\ 10&-6&4 \\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\text{.}\)

Entonces \(B\) es una matriz nilpotente de orden 2. Esto, pues claramente \(B\neq 0_{2}\) y

\begin{equation*} B^{2}=\begin{pmatrix} 5&-3&2 \\ 15&-9&6 \\ 10&-6&4 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5&-3&2 \\ 15&-9&6 \\ 10&-6&4 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Entonces se verifica \(B^{2}=0_{3}\text{.}\)

Los interacts de Sage que permiten trabajar con matrices (determinar la matriz transpuesta, calcular la traza de una matriz y calcular potencias de matrices para ver si son idempotentes o nilpotentes) se encuentran en construcción. Mientras tanto, se adjunta los siguientes links a páginas que cuentan con las mismas funciones. Esto les permitirá trabajar con matrices y verificar sus resultados paso a paso:

Calculadora de Matriz Transpuesta: https://matrix.reshish.com/es/transpose.php

Calculadora de la Traza de una Matriz: https://www.dcode.fr/matrix-trace

Calculadora de Potencias de una Matriz: https://matrix.reshish.com/es/power.php