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Sección 5.1 Definiciones, Operaciones y Propiedades Básicas de una Matriz

Definición 5.1.1.
(Matriz) Se denomina matriz de orden \(m \times n\) con coeficientes en un cuerpo \(F\,\,\) ( \(F=\mathbb{R}\,\, ó \,\, F=\mathbb{C}\text{,}\) según se especifique en cada caso) al arreglo rectangular
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ & &\vdots & &\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F). \end{equation*}
La matriz \(A\) posee \(m\) filas (horizontales) y \(n\) columnas (verticales). \(A\) se puede abreviar de las siguientes maneras:
  1. \(A=(a_{ij})_{1\le i \le m, \, 1\le j \le n}.\)
  2. \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{m \times n}(F).\)

Los elementos \(a_{ij} \in F\) (para todo \(i,j\) tales que \(1\le i \le m\) y \(1\le i \le n\)) se denominan entradas de la matriz \(A\text{.}\) \(a_{ij}\) debe leerse como la entrada de la fila \(i\) en la columna \(j\text{.}\)

Observación 5.1.2.
Una matriz también puede definirse sobre un anillo \(R\text{.}\) Por ejemplo, considere
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} \overline{1} & \overline{3} \\ \overline{5} & \overline{7} \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}). \end{equation*}

Las entradas de la matriz \(B\) corresponden a elementos del anillo \(R=\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\text{.}\) Recuerde que \(\overline{a}\) denota la clase de equivalencia de \(a\) (con \(0\le a \le 25\)) en módulo 26.

El cifrado de Hill es un método de encriptación que recurre a matrices con coeficientes en \(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\text{.}\) ¿Puede deducir por qué se trabajará con este anillo?

Determine una matriz \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{4 \times 3}(\mathbb{R})\text{,}\) tal que
\begin{equation*} a_{ij}= \begin{cases} \pi \amp \text{si } i\gt j\\ e \amp \text{si } i\le j \end{cases} \end{equation*}

Debemos encontrar una matriz \(A\) con coeficientes reales, cuyo orden es \(4 \times 3\text{.}\) Es decir, que disponga de cuatro filas y tres columnas. Digamos

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22}& a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} &a_{43}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

De las entradas, se sigue que \(a_{11}=a_{12}=a_{13}=a_{22}=a_{23}=a_{33}=e\text{.}\) Por otro lado, \(a_{21}=a_{31}=a_{32}=a_{41}=a_{42}=a_{43}=\pi\text{.}\) Por lo tanto

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} e & e & e \\ \pi & e& e\\ \pi & \pi & e\\ \pi & \pi &\pi\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Determine una matriz con coeficientes reales \(B =(b_{ij})_{1\le i \le 3, \, 1\le j \le 5}.\text{,}\) tal que \(b_{ij}=(j-i)^{2}.\)

Debemos encontrar una matriz \(B\) con coeficientes reales, cuyo orden es \(3 \times 5\text{.}\) Es decir, que disponga de tres filas y cinco columnas. Digamos

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12} &b_{13}& b_{14} &b_{15} \\ b_{21}& b_{22} &b_{23}& b_{24} &b_{25} \\ b_{31}& b_{32} &b_{33}& b_{34} &b_{35} \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

De las entradas, se sigue que

\begin{equation*} b_{11}=(1-1)^{2}=0, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{12}=(2-1)^{2}=1, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{13}=(3-1)^{2}=4, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{14}=(4-1)^{2}=9, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{15}=(5-1)^{2}=16, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{21}=(1-2)^{2}=1, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{22}=(2-2)^{2}=0, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{23}=(3-2)^{2}=1, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{24}=(4-2)^{2}=4, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{25}=(5-2)^{2}=9, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{31}=(1-3)^{2}=4, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{32}=(2-3)^{2}=1, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{33}=(3-3)^{2}=0, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{34}=(4-3)^{2}=1, \end{equation*}
\begin{equation*} b_{35}=(5-3)^{2}=4, \end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 0& 1 &4& 9 & 16 \\ 1& 0&1& 4 &9 \\ 4& 1 &0& 1 &4 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Definición 5.1.5.
(Igualdad de Matrices) Sean \(A,B \in \mathcal{M}_{m \times n}(F).\) Se dice que \(A\) es igual a \(B\) (denotado por \(A=B\)) si y sólo si \(a_{ij}=b_{ij}\text{,}\) para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\)
Se tiene la siguiente igualdad de matrices en \(\mathbb{C}\)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1-3& (-1)^{2} &2i^{5}\\ i^{4}& 8-4 &1-(-4)\\ (1+i)^{2}& 4i^{2019} &0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2& 1 &2i \\ 1& 4 &5 \\ 2i& -4i &0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Recuerde que \(2i^{5}=2i\text{,}\) \(i^{4}=i\text{,}\) \((1+i)^{2}=2i\) y \(4i^{2019}=-4i\) (estos resultados no son tan directos a simple vista).

Se concluye que dos matrices son iguales si todas sus entradas respectivas son las mismas entre sí.

Determine los valores de \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) (si existen), tales que en \(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \)se tenga
  1. \(\begin{pmatrix} a^{2}+2a& -1\\ b& 2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3& -1 \\ 1+a& 2 \\ \end{pmatrix}.\)
  2. \(\begin{pmatrix} a^{2}+2a+b& -1\\ a+b+c& 2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2}+1& 2c \\ b& d \\ \end{pmatrix}.\)
Definición 5.1.8.
(Multiplicación Matriz - Escalar) Sean \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\) y \(\lambda \in F\text{.}\) Se define la multiplicación de la matriz \(A\) por un escalar \(\lambda\text{,}\) como
\begin{equation*} \lambda \cdot A:=(\lambda \cdot a_{ij}), \end{equation*}

para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\)

En \(\mathbb{R}\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} \sqrt{\pi}\cdot \begin{pmatrix} -2& 5 \\ \sqrt{2}& 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\sqrt{\pi}& 5\sqrt{\pi} \\ \sqrt{2\pi}& 0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
En \(\mathbb{C}\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} -2\cdot \begin{pmatrix} i& 3+i &0\\ -1& 2i&1\\ 8-6i& -i &4 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2i& -6-2i &0\\ 2& -4i&-2\\ -16+12i& 2i &-8 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Definición 5.1.11.
(Suma de Matrices) Sean \(A,B\in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Se define la suma de las matrices \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\) (denotado por \(A+B\)), como
\begin{equation*} A+B:=a_{ij}+b_{ij}=(a+b)_{ij}, \end{equation*}

para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\)

En sintesis, para la adición de dos (o más matrices) se debe sumar coeficiente a coeficiente en la misma posición (entradas de la matriz).

Observación 5.1.12.
¡Solo se pueden sumar matrices del mismo orden!
En \(\mathbb{R}\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1& 3 \\ \sqrt{7}& -1\\ -\sqrt{\pi}& 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5& 0 \\ -\sqrt{7}& 5\\ -\sqrt{\pi}&3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4& 3 \\ 0& 4\\ -2\sqrt{\pi}&3\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

En el presente ejercicio; las matrices (con coeficientes reales) si se pueden sumar, dado que ambas poseen el mismo orden ( \(3\times 2\)).

Las matrices
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 4& 3 &1\\ -2& 0&-1\\ \end{pmatrix} \, \text{y} \, B=\begin{pmatrix} -1& 3 \\ 0& \sqrt{\pi} \\ -16& 8 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
no se pueden sumar; pues el orden de ambas no coinciden ( \(A\) tiene orden \(2\times 3\text{,}\) mientras que el orden de \(B\) es \(3\times 2\)).
La resta de matrices es un caso particular de la Definición 5.1.11. Sean \(A,B\in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Se define la diferencia de las matrices \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\) (denotado por \(A-B\)), como
\begin{equation*} A+(-B)=A-B:=a_{ij}-b_{ij}=(a-b)_{ij}, \end{equation*}

para todo \(i=1,...,m\) y \(j=1,...,n\text{.}\)

Por ejemplo

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -2& 1 \\ \sqrt{e}& 0\\ \sqrt{\pi}& 3\\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0& -1 \\ \sqrt{e}& -1\\ -\sqrt{\pi}&2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2& 2 \\ 0& 1\\ 2\sqrt{\pi}&1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

En el presente ejercicio; las matrices (con coeficientes reales) si se pueden resta, dado que ambas poseen el mismo orden ( \(3\times 2\)).

Antes de introducir la noción del producto de matrices, es importante definir el concepto de vector fila y vector columna.

Definición 5.1.16.
(Vector Fila) Un vector fila es una matriz \(A\in \mathcal{M}_{1 \times n}(F)\text{.}\)

Es decir, el vector fila puede representarse como una matriz de una fila y \(n\) columnas. Se sigue que

\begin{equation*} A=(a_{1},a_{2},...,a_{n}), \end{equation*}

con \(a_{i}\in F\text{,}\) para todo \(i=1,...,n\text{.}\)

El vector fila \(\vec{v}=(2,1)\in \mathbb{R}^{2}\text{,}\) puede interpretarse como una matriz de orden \(1\times 2\) (con coeficientes reales).
Definición 5.1.18.
(Vector Columna) Un vector columna es una matriz \(B\in \mathcal{M}_{n \times 1}(F)\text{.}\)

Es decir, el vector fila puede representarse como una matriz de \(n\) filas y una columna. Se sigue que

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

con \(b_{i}\in F\text{,}\) para todo \(i=1,...,n\text{.}\)

El vector columna
\begin{equation*} \vec{w}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{3}\text{,} \end{equation*}
puede interpretarse como una matriz de orden \(3\times 1\) (con coeficientes reales).

Teninendo en cuenta estos dos conceptos, podemos definir el Producto Interno Euclidiano en \(\mathbb{R}^{n}\) (un vector en \(\mathbb{R}^{n}\) puede expresarse como vector fila o columna).

Definición 5.1.20.
(Producto Interno Euclidiano)Sean
\begin{equation*} A=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in \mathcal{M}_{1 \times n}(F) \, \text{y} \, B=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{n \times 1}(F)\text{.} \end{equation*}

Se define el Producto Interno Euclidiano entre \(A\) y \(B\) como

\begin{equation*} A\bullet B:=a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}. \end{equation*}

En \(\mathbb{R}^{3}\text{,}\) se sigue que

\begin{equation*} (1,-2,3)\bullet \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ -1\\ \end{pmatrix}=-10. \end{equation*}

La siguiente definición introduce la notación que nos permitirá definir el producto de matrices.

Definición 5.1.22.
Sea \(A\in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\text{.}\) Si \(A^{1},A^{2},...,A^{n}\) corresponden a los vectores columnas de \(A\text{,}\) entonces \(A\) puede expresarse como
\begin{equation*} A=(A^{1},A^{2},...,A^{n}). \end{equation*}

Por otro lado, sea \(B\in \mathcal{M}_{m \times n}(F) \text{.}\) Si \(B_{1},B_{2},...,B_{n}\) corresponden a los vectores filas de \(B\text{,}\) entonces \(B\) puede expresarse como

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} B_{1}\\ B_{2}\\ \vdots \\ B_{n}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Estamos en condiciones para definir el producto de matrices.

Definición 5.1.23.
(Producto de Matrices) Sean \(A \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)\) y \(B \in \mathcal{M}_{n \times r}(F)\text{,}\) tales que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_{1}\\ A_{2}\\ \vdots \\ A_{m}\\ \end{pmatrix} \, \text{y} \, B=(A^{1},A^{2},...,A^{r}). \end{equation*}

Entonces el producto de las matrices \(A\) y \(B\) (denotado por \(AB\)), está dado por

\begin{equation*} (AB)_{ij}:=A_{i}\bullet B^{j}=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir})\bullet \begin{pmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots \\ b_{rj}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Esto nos permite concluir que

\begin{equation*} AB=\begin{pmatrix} A_{1}\bullet B^{1}& A_{1}\bullet B^{2} & \bullet & A_{1}\bullet B^{r} \\ A_{2}\bullet B^{1}& A_{2}\bullet B^{2} & \bullet & A_{2}\bullet B^{r} \\ & &\vdots & \\ A_{m}\bullet B^{1}& A_{m}\bullet B^{2} & \bullet & A_{m}\bullet B^{r} \\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m \times r}(F), \end{equation*}

donde \(\bullet\) representa el Producto Interno Euclidiano entre los vectores filas y columnas respectivamente. Note que la matriz resultante del producto entre \(A\) y \(B\) es de orden \(m \times r\text{.}\) Es decir, mantiene la cantidad de filas de \(A\) y la cantidad de columnas de \(B\text{.}\) Finalmente, se tendrá que la entrada \(ij\) del producto matricial \(AB\) está dada por

\begin{equation*} (AB)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}. \end{equation*}
Observación 5.1.24.
Para multiplicar dos matrices \(A\) y \(B\text{,}\) se debe verificar que la cantidad de columnas de \(A\) coincida con la cantidad de filas que posee la matriz \(B\text{.}\) En caso contrario, la múltiplicación de matrices no está definida. Ver Ejemplo 5.1.28.

La siguiente Proposición permite relacionar el producto de matrices con el concepto de composición de funciones, visto en Cálculo I.

Sea \(B=(B^{1},B^{2},...,B^{n})\text{;}\) donde \(B^{j}\) corresponde a las filas de la matriz \(B\text{,}\) para todo \(j=1,...,n\text{.}\) Considere
\begin{equation*} x= \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Entonces

\begin{equation*} (A\circ B)(x)=A(B(x))=A((B^{1},B^{2},...,B^{n})\bullet \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{pmatrix}). \end{equation*}

Desarrollando, se consigue

\begin{equation*} (A\circ B)(x)=A(B^{1}x_{1}+...+B^{r}x_{r})=AB^{1}x_{1}+...+AB^{r}x_{r}. \end{equation*}

Por último

\begin{equation*} AB^{1}x_{1}+...+AB^{r}x_{r}=(AB^{1}+...+AB^{r})\bullet \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=(AB)(x). \end{equation*}
Considere las matrices \(A\in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R})\) y \(B\in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})\text{,}\) tales que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 0\\ -1& 1\\ \end{pmatrix} \, \text{y} \, B=\begin{pmatrix} 2& 4 &1\\ 0& -1&5 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

El producto de matrices \(AB\) si existe, pues la cantidad de columnas de \(A\) coincide con la cantidad de filas en \(B\) (tres). Por consiguiente, \(AB\) resulta ser una matriz de orden \(3 \times 3\text{.}\) Basados en la Definición 5.1.23, se tiene

\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{11}=(1,3)\bullet \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ \end{pmatrix}=2 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{12}=(1,3)\bullet \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ \end{pmatrix}=1 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{13}=(1,3)\bullet \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ \end{pmatrix}=16 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{21}=(2,0)\bullet \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ \end{pmatrix}=4 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{22}=(2,0)\bullet \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ \end{pmatrix}=8 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{23}=(2,0)\bullet \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ \end{pmatrix}=2 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{31}=(-1,1)\bullet \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ \end{pmatrix}=-2 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{32}=(-1,1)\bullet \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ \end{pmatrix}=-5 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{33}=(-1,1)\bullet \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ \end{pmatrix}=4 . \end{equation*}

Por consiguiente

\begin{equation*} AB=\begin{pmatrix} 2& 1&16\\ 4& 8&2\\ -2& -5&4\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Considere las matrices \(A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) y \(B\in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\text{,}\) tales que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1& 1\\ -1& 1\\ \end{pmatrix} \, \text{y} \, B=\begin{pmatrix} 4 &1\\ 1& 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

El producto de matrices \(AB\) si existe, pues la cantidad de columnas de \(A\) coincide con la cantidad de filas en \(B\) (dos). Por consiguiente, \(AB\) resulta ser una matriz de orden \(2 \times 2\text{.}\) Basados en la Definición 5.1.23, se tiene

\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{11}=(1,1)\bullet \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ \end{pmatrix}=5 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{12}=(1,1)\bullet \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}=1 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{21}=(-1,1)\bullet \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ \end{pmatrix}=-3 , \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Entrada} \, (AB)_{22}=(-1,1)\bullet \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}=-1 , \end{equation*}

Por consiguiente

\begin{equation*} AB=\begin{pmatrix} 5& 1\\ -3& -1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Considere las matrices \(A\in \mathcal{M}_{4 \times 3}(\mathbb{R})\) y \(B\in \mathcal{M}_{2 \times 5}(\mathbb{R})\text{,}\) tales que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 2& 0&-1\\ 0& -1&1\\ 1& 4&3\\ -3& 1&1\\ \end{pmatrix} \, \text{y} \, B=\begin{pmatrix} 2& 1 &1& -1 &0\\ 0& 0 &-1& 2 &1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

El producto de matrices \(AB\) no está definido, pues la cantidad de columnas de \(A\) no coincide con la cantidad de filas en \(B\) ( \(3\neq 2\)).

Del Ejemplo 5.1.27, se tiene que el producto \(BA\) existe (¿Por qué?). Es natural preguntarse si \(AB=BA\text{.}\) Sin embargo, realizando el producto de matrices correspondientes (Ejercicio Propuesto), se obtiene que

\begin{equation*} BA=\begin{pmatrix} 3& 5\\ -1& 1\\ \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Es decir, \(AB\neq BA\text{.}\) Esto nos permite concluir que el producto de dos matrices (cuando está definido) no necesariamente debe ser conmutativo. Esto nos motiva a introducir una serie de propiedades que cumple las matrices \(A\in \mathcal{M}_{n \times m}(F)\) bajo adición, multiplicación por un escalar y producto de matrices.

Observación 5.1.29.
\(0\in \mathcal{M}_{n \times m}(F)\) corresponde a una matriz donde todas sus entradas son ceros. Se denómina matriz nula.
Observación 5.1.31.
La Proposición 5.1.30 nos permite concluir que el conjunto de matrices \((\mathcal{M}_{n \times m}(F), +)\) es un grupo abeliano.
Observación 5.1.33.
Las Proposiciones 5.1.30 y 5.1.32 nos permite concluir que el conjunto de matrices \((\mathcal{M}_{n \times m}(F), +, \cdot )\) es un espacio vectorial sobre el cuerpo \(F\) (ver Capítulo 7).

La Proposición 5.1.36 trabaja con el conjunto de matrices \(\mathcal{M}_{n \times n}(F) \text{.}\) Es decir, aquellas que poseen la misma cantidad de filas y columnas. Claramente la multiplicación en \(\mathcal{M}_{n \times n}(F) \) está definida. ¿Por qué?

Definición 5.1.34.
(Matriz Identidad) Se define la matriz identidad en \(\mathcal{M}_{n \times n}(F)\) como \(I_{n\times n}=(i_{xy})\in \mathcal{M}_{n \times n}(F)\text{,}\) tal que
\begin{equation*} \begin{cases} i_{xy}=1 \amp \text{si } x= y\\ i_{xy}=0 \amp \text{si } x\neq y \end{cases} \end{equation*}

Por comodidad, se suele escribir \(I_{n}\) en vez de \(I_{n\times n}\text{.}\)

En \(\mathcal{M}_{2 \times 2}(F)\) y \(\mathcal{M}_{3 \times 3}(F)\text{,}\) las respectivas matrices identidades están dadas por
\begin{equation*} I_{2\times 2}=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} I_{3\times 3}=\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0& 1&0\\ 0& 0&1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Observación 5.1.37.
La Proposición 5.1.36 y la Proposición 5.1.30 (considerando \(n=m\)), nos permite concluir que el conjunto de matrices \(\mathcal{M}_{n \times n}(F)\) dotado de la suma y multiplicación es un anillo unitario (no necesariamente conmutativo).

Los interacts de Sage que permiten operar con matrices (suma, resta y multplicación) se encuentran en construcción. Mientras tanto, se adjunta el link de Matrix Calculator, quien cuenta con las mismas funciones. Esto les permitirá operar con matrices y verificar sus resultados paso a paso:

https://matrixcalc.org/es/