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Sección 2.1 Propiedades Básicas

Se definen los Números Enteros como el conjunto

\begin{equation*} \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup \left\lbrace 0\right\rbrace \cup \left\lbrace -n: n \in \mathbb{N} \right\rbrace =\left\lbrace ...-2,-1,0,1,2,...\right\rbrace\text{.} \end{equation*}

\(\mathbb{Z}\) posee las siguientes propiedades

  1. \(\mathbb{N}\) está dotado de dos operaciones: suma \((+)\) y producto \((\cdot)\text{.}\) Ambas son leyes de composicion interna. Es decir
    \begin{equation*} +:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} : (a,b)\to a+b \end{equation*}
    y
    \begin{equation*} \cdot:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} : (a,b)\to a\cdot b \end{equation*}
  2. Conmutatividad de la suma: Para todo \(a,b\in \mathbb{Z}\text{,}\) \(a+b=b+a\text{.}\)
  3. Asociatividad de la suma: Para todo \(a,b,c\in \mathbb{Z}\text{,}\) \((a+b)+c=a+(b+c)\text{.}\)
  4. Neutro aditivo: Para todo \(a \in \mathbb{Z}\text{,}\) existe \(0 \in \mathbb{Z}\) tal que \(a+0=a\text{.}\)
  5. Inverso aditivo: Para todo \(a \in \mathbb{Z}\text{,}\) existe \(-a \in \mathbb{Z}\) tal que \(a+(-a)=0\text{.}\)
  6. Conmutatividad del producto: Para todo \(a,b\in \mathbb{Z}\text{,}\) \(a\cdot b=b\cdot a\text{.}\)
  7. Asociatividad del producto: Para todo \(a,b,c\in \mathbb{Z}\text{,}\) \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\text{.}\)
  8. Neutro multiplicativo: Para todo \(a \in \mathbb{Z}\text{,}\) existe \(1 \in \mathbb{Z}\) tal que \(a\cdot 1 =a\text{.}\)
  9. Si \(a,b \in \mathbb{Z}\) tal que \(a\cdot b =0\) entonces \(a=0 \) \(\lor\) \(b=0\text{.}\) Es decir, \(\mathbb{Z}\) no posee divisores de cero.
  10. Distribuitividad: Para todo \(a,b,c\in \mathbb{Z}\text{,}\) \((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\text{.}\)
  11. Existe una relación de orden total.
  12. \(\mathbb{Z}\) no satisface el Principio del Buen Orden.

Los Números Enteros \(\mathbb{Z}\) poseen una estructura de anillo conmutativo con unidad. Además, disponen de una propiedad muy importante: la existencia de un Algoritmo de División (ver sección siguiente: Algoritmo de la División y Divisibilidad).