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Sección 3.5 Teorema de Wilson

¿Existe algún resultado que relacione el factorial de un número primo \(p\) y las congruencias? ¡El Teorema de Wilson!

Si \(p=2\) o \(p=3\text{,}\) la demostración es directa. Consideraremos que \(p\) es un primo mayor que \(3\text{,}\) \(a=\left\lbrace 1,2,3,...,p-1\right\rbrace\) y la ecuación \(ax\equiv 1\) (mod \(p\)). Como \((a,p)=1\text{,}\) entonces la ecuación tiene solución única. Por lo tanto, existe \(b\in \mathbb{Z}\) tal que \(1\le b \le p-1\) tal que \(ab \equiv 1\) (mod \(p\)). Excluyendo a los enteros \(1\) y \(p-1\) (cuyos inversos multiplicativos son ellos mismos), agrupando a \(\left\lbrace 2,3,...,p-2\right\rbrace\) en un par de la forma \((a,b)\) (con \(a\neq b\)) y multiplicándolos
\begin{equation*} 2\cdot 3\cdot ...\cdot (p-2) \equiv 1 \ (\text{mod } p). \end{equation*}
Esto, ya que cada elemento de \(\left\lbrace 2,3,...,p-2\right\rbrace\) posee inverso multiplicativo (el cual también pertenece a tal conjunto y es único). Multiplicando la expresión anterior por \(p-1\) y \(1\text{,}\) se logra
\begin{equation*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (p-2)\cdot (p-1) \equiv p-1 \ (\text{mod } p). \end{equation*}
Finalmente \((p-1)!\equiv p-1 \ (\text{mod } p)\text{.}\) Como
\begin{equation*} p-1\equiv -1 \ (\text{mod } p)\text{,} \end{equation*}
por transitividad se concluye que
\begin{equation*} (p-1)!\equiv -1 \ (\text{mod } p)\text{.} \end{equation*}

Nos falta verificar que si \((p-1)!\equiv -1 \ (\text{mod } p)\text{,}\) entonces \(p\) es un número primo. Se hará por contradicción. Supondremos que \(p\) es un número compuesto; por lo que tiene un factor propio \(d\text{,}\) tal que \(d|p\)y \(1 < d < p\text{.}\) Adicionalmente; como \(d < p-1\text{,}\) entonces uno de los factores de \((p-1)!\) es \(d\text{.}\) Por lo tanto, \(d|(p-1)!\) Por hipótesis, \(p|(p-1)!+1\text{.}\) Entonces (mediante transitividad), se logra \(d|(p-1)!+1.\)

Como \(d|(p-1)!\) y \(d|(p-1)!+1\) entonces \(d|1\)(Proposición 3.2.6). Así, \(d=1\text{;}\) lo cual es una contradicción, pues \(1 < d\text{.}\) Por lo tanto, \(p\) es un número primo.

Observación 3.5.2.
Note que el Teorema de Wilson puede reescribirse como: \(p\ge 2\) es un número primo si y sólo si \((p-1)!\equiv p-1\) (mod \(p\)). Esto, pues \((p-1)\equiv -1\) (mod \(p\)).

Veamos algunos ejemplos de como utilizar el Teorema de Wilson.

Probaremos que si \(p\) es primo, entonces
\begin{equation*} (p-1)!\equiv p-1 \ (\text{mod } p(p-1))\text{.} \end{equation*}
Dado que \(p\) es primo, por Teorema de Wilson
\begin{equation*} (p-1)!\equiv -1 \ (\text{mod } p). \end{equation*}
Note que \((p-1)!=(p-1)(p-2)!= p(p-2)!-(p-2)!\equiv -(p-2)!\) (mod \(p\)). Por transitividad, \((p-2)!\equiv 1 \ (\text{mod } p).\) Mediante la definición de congruencia, existe un único entero \(h\) tal que \(ph=(p-2)!-1\text{.}\) Multiplicando por \((p-1)\text{,}\) se logra \(p(p-1)h=(p-1)!-(p-1)\text{.}\) Por lo tanto
\begin{equation*} (p-1)!\equiv p-1 \ (\text{mod } p(p-1))\text{.} \end{equation*}
Encontraremos el resto de \(56!!\) al ser divido por \(29\text{.}\) Se sigue que
\begin{equation*} 56!!=2\cdot 4\cdot ...\cdot 56=2^{28}\cdot 28!\text{.} \end{equation*}
Por el Teorema de Wilson, ya que \(29\) es primo
\begin{equation*} 28!\equiv -1\ (\text{mod } 29). \end{equation*}
Y por el Pequeño Teorema de Fermat, como \(29 \)es primo y \((2,29)=1\)
\begin{equation*} 2^{28}\equiv 1\ (\text{mod } 29). \end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*} 2^{28}\cdot 28! \equiv -1 \equiv 28\ (\text{mod } 29). \end{equation*}
Se concluye que el resto de la división entre \(56!!\) al ser dividido por \(29\) es \(28\text{.}\)
Pruebe que \(63!\equiv -1\) (mod \(71\)).

Finalmente, los siguientes interacts de Sage permiten la aplicación del Teorema de Wilson.