[skip-to-content]

Sección 4.4 Raíces de Polinomios

Definición 4.4.1.
Sea \(p(x)\in F\left[x \right]\text{,}\) tal que grad \(p(x)\ge 1\text{.}\) Se dice que \(\alpha \in F\) es una raíz del polinomio \(p(x)\) si \(p(\alpha)=0\text{.}\)

El siguiente resultado relaciona los conceptos de divisibilidad y raíz de un polinomio.

Por el Algoritmo de la División, sabemos que existen polinomios \(q(x),r(x)\in F\left[x \right]\) tales que
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)+r(x), \end{equation*}
con \(r(x)=0\) o grad \(r(x) <\) grad \((x-\alpha)=1\text{.}\) Esto implica que grad \(r(x)=0\text{.}\) Por lo tanto, \(r(x)=c\text{,}\) \(c\in F\text{.}\) Así
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)+c. \end{equation*}
Como \(\alpha\) es raíz de \(p(x)\text{,}\) entonces \(p(\alpha)=c=0\text{.}\) Por lo tanto; \(c=0\text{,}\) para todo \(x \in F\text{.}\) Se concluye que \(p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x).\)

Por otro lado; sabemos que \(p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)\text{,}\) con \(q(x)\in F\left[x \right]\text{.}\) Tomando \(x=\alpha\text{,}\) se consigue

\begin{equation*} p(\alpha)=0\text{.} \end{equation*}

Por lo tanto, \(\alpha\) es raíz de \(p(x)\text{.}\)

Observación 4.4.3.
Note que de la Proposición 4.4.2
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x) \Leftrightarrow (x-a)|p(x). \end{equation*}

La siguiente proposición será muy útil en el cálculo de raíces de un polinomio \(p(x)\in \mathbb{R}\left[x \right]\) (que puede admitir raíces en \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)).

Definición 4.4.5.
Sea \(p(x)=ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) tal que \(a\neq 0\text{.}\) Se define el discrimintante de \(p(x)\) como
\begin{equation*} \triangle: =b^{2}-4ac. \end{equation*}
Observación 4.4.6.
El discriminante (ver Definición 4.4.5) nos indicará la naturaleza de las raíces de \(p(x)=ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}\left[ x\right]\) con \(a \neq 0\text{.}\) En particular:
  1. Si \(0 <\triangle\text{,}\) entonces las raíces de \(p(x)\) son reales y distintas.
  2. Si \(\triangle=0\text{,}\) entonces las raíces de \(p(x)\) son reales e iguales.
  3. Si \(\triangle <0\text{,}\) entonces las raíces de \(p(x)\) son complejas y conjugadas.

Después de este útil recuerdo, ¿cómo emplear la Proposición 4.4.2? ¡Veamos un ejemplo!

Asuma que \(-1\) y \(\dfrac{1}{3}\) son raíces de \(p(x)=3x^{4}-10x^{3}-3x^{2}+8x-2 \in \mathbb{R}\left[ x \right]\text{.}\) Determine las dos raíces restantes en \(\mathbb{R}\text{.}\)

Como \(-1\) y \(\dfrac{1}{3}\) son raíces de \(p(x)\text{,}\) por Teorema del Factor (Proposición 4.4.2); existe \(q(x)\in \mathbb{R}\left[ x \right]\) tal que

\begin{equation*} p(x)=(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3} \right)q(x). \end{equation*}
Basta determinar el polinomio \(q(x)\text{,}\) para obtener las raíces restantes. Para encontrar \(q(x)\) utilizaremos la Regla de Ruffini. Note que \(q(x)\) debe ser un polinomio de grado 2. Por Ruffini, consideraremos \(p(x)\) y \(x+1\text{.}\) Así
\begin{equation*} 3 \, \, \, \, \,\, \, \, \, -10 \, \, \, \, \, \, -3 \, \, \, \,\, \, \,\,\, \, \, 8 \, \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \,\, \,| \, \, -1 \end{equation*}
\begin{equation*} \downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, -3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 13 \, \, \, \,\, \, \, \, -10 \, \, \, \,\, \, \, \, 2 \, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
\begin{equation*} 3 \, \, \, \, \, \, \, \, -13 \, \, \, \, \, \, \, \, 10 \, \, \, \,\, \, \, \, -2 \, \, \, \,\, \, \, \, 0 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
Obtenemos el cociente \(h_{1}(x)=3x^{3}-13x^{2}+10x-2\) y resto \(0\) (¿Por qué?). Nuevamente, utilizaremos Ruffini entre \(h_{1}(x)\) y el factor restante de \(p(x)\text{:}\) la expresión \(x-\dfrac{1}{3}.\)
\begin{equation*} 3 \, \, \, \, \,\, \, \, \, -13 \, \, \, \, \, \, 10 \, \, \, \,\, \, \,\,\, \, \, -2 \, \, \,\, \,| \, \, \dfrac{1}{3} \end{equation*}
\begin{equation*} \downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -4\, \, \, \,\, \, \, \, 2 \, \, \, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
\begin{equation*} 3 \, \, \, \, \, \, \, \, -12 \, \, \, \, \, \, \, \, 6 \, \, \, \,\, \, \, \, 0 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
Obtenemos el coociente \(h_{2}(x)=3x^{2}-12x+6\) y resto \(0\) (¿Por qué?). Así, \(h_2(x)=q(x)\) (es el polinomio de grado 2 que estabamos buscando). Por lo tanto, debemos encontrar las raíces de \(h_2(x)\) y hallaremos las dos raíces faltantes de \(p(x)\text{;}\) pues \(h_2(x)|p(x)\text{.}\) Por Proposición 4.4.4
\begin{equation*} x=2\pm \sqrt{2}. \end{equation*}
Así, \(x_{1}=2+ \sqrt{2}\) y \(x_{2}=2- \sqrt{2}.\) Por lo tanto, las raíces de \(p(x)\) son
\begin{equation*} \left\lbrace-1, \dfrac{1}{3}, 2+ \sqrt{2}, 2- \sqrt{2}\right\rbrace. \end{equation*}
Observación 4.4.8.
Sea \(p(x)\in F\left[ x \right]\text{,}\) tal que grad \(n < p(x)\) y \(\alpha_{1}\text{,}\) \(\alpha_{2}\text{,}\) ..., \(\alpha_{n}\) son raíces distintas de \(p(x)\text{.}\) Entonces existe \(q(x)\in F\left[ x \right]\) tal que
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})...(x-\alpha_{n})q(x). \end{equation*}
Si grad \(p(x)=n\text{,}\) en particular se tendrá
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})...(x-\alpha_{n}). \end{equation*}
Encontraremos las raíces del polinomio \(p(x)=x^{4}-16\in \mathbb{R}\left[ x \right]\) sobre \(\mathbb{R}\text{.}\) Note que
\begin{equation*} x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4)=(x-2)(x+2)(x^{2}+4). \end{equation*}
Sin embargo, la expresión \(x^{2}+4\) no admite raíces en \(\mathbb{R}\text{,}\) pues su discriminante es menor que cero ( \(\triangle=-16 <0\)). De esta forma, las únicas raíces de \(p(x)\) sobre \(\mathbb{R}\)son \(2\) y \(-2\text{.}\)

Sin embargo, ¿qué ocurre si queremos determinar las raíces de \(p(x)\) en \(\mathbb{C}\text{?.}\) En tal caso, la situación es distinta y sus raíces son \(2\text{,}\) \(-2\text{,}\) \(-2i\) y \(2i\) (recuerde que \(i=\sqrt{-1}\)).

Del Ejemplo 7.4.7, se obtuvo que las raíces reales de \(p(x)=3x^{4}-10x^{3}-3x^{2}+8x-2 \in \mathbb{R}\left[ x \right]\) son \(-1, \dfrac{1}{3}, 2+ \sqrt{2}\) y \(2- \sqrt{2}.\) Por Observación 7.4.8, se puede expresar \(p(x)\) como
\begin{equation*} p(x)=(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3} \right)(x-2- \sqrt{2})(x-2+ \sqrt{2}). \end{equation*}

A continuación, presentamos un resultado extremadamente útil a la hora de obtener las raíces de un polinomio \(p(x)\in \mathbb{Z}\left[ x \right]\) con grad \(p(x)\ge 1\text{.}\)

¿Cómo utilizar este criterio? ¡Veamos un ejemplo!

Determinaremos las raíces reales del polinomio
\begin{equation*} p(x)=2x^{4}+x^{3}-21x^{2}-14x+12 \in F\left[ x\right]\text{.} \end{equation*}
Note que los coeficiente de \(p(x)\) son números enteros. Por lo tanto, podemos utilizar el Criterio de las Raíces Racionales (dado que \(12\) y \(2\) no son nulos). Note que el conjunto de divisores de \(12\) es
\begin{equation*} p=\left\lbrace \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12 \right\rbrace\text{.} \end{equation*}
Para el \(2\text{,}\) se consigue
\begin{equation*} q=\left\lbrace \pm 1,\pm 2\right\rbrace\text{.} \end{equation*}
Adicionalmente, debe cumplirse \((p,q)=1\text{.}\) Por lo tanto, los posibles candidatos a raíces del polinomio \(p(x)\) son
\begin{equation*} x=\left\lbrace \pm1,\pm\frac{1}{2}, \pm2, \pm3, \pm\frac{3}{2}, \pm4, \pm6, \pm12 \right\rbrace\text{.} \end{equation*}
Utilizaremos el Teorema del Resto, para descartar/conseguir las raíces de \(p(x)\text{.}\)

Teorema del Resto: El resto \(r\) al dividir un polinomio \(s(x)\in F\left[ x\right]\) por \((x-a)\) corresponde a \(s(a)\) ( \(a\in F\)). En particular, si \(s(a)=0\) entonces \(a\) es raíz del polinomio \(s(x)\text{.}\)

Por el Teorema del Resto, se obtiene

  1. \(p(1)=-20\text{,}\) por lo que \(1\) no es raíz de \(p(x)\)
  2. \(p(-1)=6\text{,}\) por lo que \(-1\) no es raíz de \(p(x)\)

Este proceso se debe realizar con todos los valores de \(x\) (lo cual resulta muy tedioso). Note que \(p(-3)=0\) y \(p(\frac{1}{2})=0\text{,}\) por lo que \(-3\)y \(\frac{1}{2} \)son raíces de \(p(x)\text{.}\) Note que el criterio nos proporciona todas las raíces racionales de \(p(x)\text{,}\) por lo que su efectividad es limitada (no podemos obtener raíces irracionales con tal criterio). Haciendo uso de la Observación 4.4.8, se logra:

\begin{equation*} p(x)=(x+3)(x-\frac{1}{2})q(x)\text{.} \end{equation*}
Falta determinar \(q(x)\in F\left[ x \right]\text{.}\) Por división de polinomios, se obtiene que el cociente al dividir \(p(x)\) por \((x+3)(x-\frac{1}{2})\) es \(2x^{2}-4x-8\) (y el resto es nulo). Por lo tanto, \(q(x)=2x^{2}-4x-8\text{.}\) Por Proposición 4.4.4, las raíces de \(q(x)\) corresponden a
\begin{equation*} x=1\pm \sqrt{5} \end{equation*}

Finalmente, las raíces reales de \(p(x)\) corresponden a

\begin{equation*} \left\lbrace -3,\frac{1}{2}, 1+\sqrt{5},1-\sqrt{5} \right\rbrace . \end{equation*}

La factorización de \(p(x)\) sobre \(\mathbb{R}\) es

\begin{equation*} p(x)=(x+3)(x-\frac{1}{2})(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})\text{.} \end{equation*}
Determinaremos los valores de \(k\in \mathbb{R}\) para que el polinomio \(p(x)= x^{3}-7x+k\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) posea una raíz que sea el doble de la otra.

Diremos que \(\alpha\) y \(2\alpha\) son raíces de \(p(x)=x^{3}-7x+k\text{.}\) Se sigue que

\begin{equation*} p(\alpha)=\alpha^{3}-7\alpha+k=0, \end{equation*}
\begin{equation*} p(2\alpha)=8\alpha^{3}-14\alpha+k=0. \end{equation*}
Despejando el valor de \(k\) en las ecuaciones, se obtiene \(7\alpha^{3}-7\alpha=0\text{.}\) Factorizando
\begin{equation*} 7\alpha^{3}-7\alpha=0\Rightarrow \alpha(\alpha^{2}-1)=\alpha(\alpha-1)(\alpha+1)=0. \end{equation*}
Note que si \(\alpha=0 \Rightarrow k=0\text{,}\) lo cual es absurdo (se contradice la hipótesis de que \(p(x)\) admite a una raíz que es el doble de la otra). Si \(\alpha=1 \Rightarrow k=6\text{.}\) Por último, si \(\alpha=-1 \Rightarrow k=-6\text{.}\)

Por lo tanto, los valores de \(k\) son \(-6\)y \(6\text{.}\)

Note que el polinomio \(p(x)=x^{2}+4x+4\in \mathbb{R}\left[x \right]\) admite a \(-2\) como raíz. Y pareciera que \(-2\) es la única raíz de \(p(x)\text{,}\) ya que \(p(x)=(x+2)^{2}\text{.}\) En tal caso, se dice que \(-2\) es raíz de multiplicidad (algebraica) doble. ¿De donde viene el concepto de multiplicidad? Considere la siguiente definición

Definición 4.4.14.
Se dice que \(\alpha\) es raíz de multiplicidad algebraica \(m\ge 1\) del polinomio \(p(x)\in F\left[ x \right]\) si y solo si existe \(q(x)\in F\left[ x \right]\) tal que
\begin{equation*} p(x)=(x-\alpha)^{m}\cdot q(x), \end{equation*}
con \(q(\alpha)\neq 0\text{.}\)
Encontraremos todos los valores de \(k\in \mathbb{R}\text{,}\) tales que el polinomio
\begin{equation*} f(x)=x^{3}-x^{2}-8x+k\in \mathbb{R}\left[ x\right], \end{equation*}
posea alguna raíz real de multiplicidad mayor a uno.

Dado que \(f(x)\) posee alguna raíz real de multiplicidad mayor a uno y grad \(f(x)=3\text{,}\) debemos analizar los siguientes casos:

Caso 1: \(f(x)\) admite una raíz real de multiplicidad doble.

En particular, existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=(x-\alpha)^{2}(x+b),\) con \(b\in \mathbb{R}\) (pues \(f(x)\) es un polinomio monico). De esta forma

\begin{equation*} x^{3}-x^{2}-8x+k=x^{3}+x^{2}(b-2\alpha)+x(\alpha^{2}-2\alpha b)+\alpha^{2}b. \end{equation*}
Por igualdad de polinomios
\begin{equation*} b-2\alpha=-1\Rightarrow b=2\alpha-1, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha^{2}-2\alpha b=-8, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha^{2}b=k. \end{equation*}
Reemplazando la primera ecuación en la segunda, se consigue \(3\alpha^{2}-2\alpha-8=0\text{.}\) Factorizando, se logra \((3\alpha+4)(\alpha-2)=0\text{.}\) Por lo tanto, \(\alpha_{1}=-\dfrac{4}{3}\) y \(\alpha_{2}=2\text{.}\) Reemplazando \(\alpha_{1}\) en la primera ecuación, se consigue \(b_{1}=-\dfrac{11}{3}.\) Evaluando \(\alpha_{2}\) en la primera ecuación, se logra \(b_{2}=3\text{.}\)

Dado los valores de \(\alpha_{1}\) y \(b_{1}\) en la tercera ecuación, se obtiene \(k_{1}=-\dfrac{176}{27}\text{.}\) De la misma manera, reemplazando \(\alpha_{2}\) y \(b_{2}\) en la tercera ecuación, se consigue \(k_{2}=12\text{.}\)

Caso 2: \(f(x)\) admite una raíz real de multiplicidad triple.

En particular, existe \(\beta \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=(x-\beta)^{3}\) (pues \(f(x)\) es un polinomio de grado tres). De esta forma

\begin{equation*} x^{3}-x^{2}-8x+k=x^{3}-3\beta x^{2} +3\beta^{2}x-\beta^{3} \end{equation*}
Por igualdad de polinomios, se obtiene el sistema de ecuaciones
\begin{equation*} 1=3\beta, \end{equation*}
\begin{equation*} -8=3\beta^{2}, \end{equation*}
\begin{equation*} k=-\beta^{3}. \end{equation*}
Sin embargo, este sistema es absurdo; pues se obtiene que \(-8=\dfrac{1}{3}\text{,}\) lo cual no tiene sentido. Por lo tanto, \(f(x)\) no admite ninguna raíz real de multiplicidad triple.

Finalmente, los valores de \(k\) son \(\left\lbrace 12, -\dfrac{176}{27} \right\rbrace\text{.}\)

Encontraremos los valores de \(a,b,c\in \mathbb{R}\) para que el polinomio
\begin{equation*} p(x)= x^{4}+12x^{3}+ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}\left[ x \right], \end{equation*}
admita a \(1\) como raíz de multiplicidad triple.

En efecto, \(p(x)\) puede escribirse como \(p(x) =(x-1)^{3}(x+d)\) con \(d\text{;}\) constante real (ya que \(p(x)\) es un polinomio mónico). Se sigue que

\begin{equation*} x^{4}+12x^{3}+ax^{2}+bx+c=dx^{4}+(d-3)x^{3}+(3-3d)x^{2}+(3d-1)x-d. \end{equation*}

Por igualdad de polinomios, se obtiene que \(12=d-3 \Rightarrow d=15\text{,}\) \(a=3-3d \Rightarrow a=-42\text{,}\) \(b=3d-1 \Rightarrow b=44\) y \(c=-d \Rightarrow c=-15.\)

Por lo tanto, \(a=-42\text{,}\) \(b=44\) y \(c=-15\text{,}\) son los valores buscados.

El siguiente resultado es útil para verificar cuando un polinomio \(p(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) admite a una raíz de multiplicidad doble. Sin embargo, requiere conocimientos de Cálculo.

Observación 4.4.18.
¿Cómo interpretar el resultado anterior (Proposición 4.4.17)?

Si \(\alpha\) es raíz de multiplicidad doble de \(p(x)\text{,}\) satisface \(p(\alpha)=0\) pero también verifica \(p'(\alpha)=0\text{.}\) Es decir, \(\alpha\) es raíz del polinomio derivado de \(p(x)\text{.}\) ¡La Proposición 7.4.17 también puede generalizarse (dependiendo del grado de \(p(x)\))! Por ejemplo, si \(p(x)\) es de grado mayor o igual a 3:

\begin{equation*} (x-\alpha)^{3}|p(x) \Leftrightarrow (x-\alpha)|p(x) \land (x-\alpha)|p'(x)\land (x-\alpha)|p''(x). \end{equation*}

O también, si \(p(x)\) es de grado mayor o igual a \(n\)

\begin{equation*} (x-\alpha)^{n}|p(x) \Leftrightarrow (x-\alpha)|p(x) \land (x-\alpha)|p'(x) \land ... \land (x-\alpha)|p^{(n-1)} (x), \end{equation*}
donde \(p^{(n-1)} (x)\) representa la \(n-1\) derivada de \(p(x)\text{.}\)
Considere el polinomio \(p(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1\in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\) En efecto \(1\) es raíz de raíz de multiplicidad cuatro, pues:
\begin{equation*} p(1)=0. \end{equation*}
Adicionalmente
\begin{equation*} p'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x-4 \,\,\,\,\text{y}\,\,\,\, p'(1)=0, \end{equation*}
\begin{equation*} p''(x)=12x^{2}-24x+12 \,\,\,\, \text{y}\,\,\,\, p''(1)=0, \end{equation*}
\begin{equation*} p'''(x)=24x-24\,\,\,\,\text{y}\,\,\,\, p'''(1)=0. \end{equation*}

Considere el polinomio \(p(x)=ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) tal que \(a\neq 0\text{.}\) Si \(\alpha\) y \(\beta\) son raíces de \(p(x)\text{;}\) entonces

\begin{equation*} \alpha+\beta =-\dfrac{b}{a}, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\cdot \beta=\dfrac{c}{a}\text{.} \end{equation*}

¿Cómo se deducen estas relaciones? (Ver Ejemplo 4.4.20)

Si \(p(x)=ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}\left[ x\right]\) admite a \(\alpha\) y \(\beta\) como raíces (con \(a\neq 0\)), entonces
\begin{equation*} p(x)=a(x-\alpha)(x-\beta). \end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*} ax^{2}+bx+c=ax^{2}+ax(-\alpha-\beta)+a\alpha\cdot\beta. \end{equation*}
Por igualdad de polinomios, se consigue
\begin{equation*} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\cdot \beta=\dfrac{c}{a}\text{.} \end{equation*}

¿Es posible encontrar una relacion para las raíces del polinomio \(p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d \in \mathbb{R}\left[ x\right]\) Efectivamente sí, y tales expresiones son conocidas como las relaciones de Cardano-Vieta.

¿Como utilizar estas relaciones? ¡Veamos algunos ejemplos!

Considere el polinomio \(p(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r\in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) tal que \(a\neq 0\text{.}\) Se sabe que \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) y \(\gamma\)son raíces de \(p(x)\text{.}\) Determinaremos el valor de
\begin{equation*} \dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}+\dfrac{1}{\gamma^{2}}. \end{equation*}
Por las relaciones de Cardano-Vieta (Proposición 4.4.21), se tiene que
\begin{equation*} \alpha+\beta+\gamma=p, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=q, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\beta\gamma =r. \end{equation*}
Elevando al cuadrado la segunda ecuación, se logra
\begin{equation*} \alpha^{2}\beta^{2}+\alpha^{2}\gamma^{2}+\beta^{2}\gamma^{2}+2\alpha^{2}\gamma\beta+2\alpha\beta^{2}\gamma+2\alpha\beta\gamma^{2}=q^{2} \end{equation*}
Factorizando
\begin{equation*} \alpha^{2}\beta^{2}+\alpha^{2}\gamma^{2}+\beta^{2}\gamma^{2}+2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=q^{2} \end{equation*}
Evaluando \(\alpha+\beta+\gamma=p\) y \(\alpha\beta\gamma=r\) en la última expresión, se logra
\begin{equation*} \alpha^{2}\beta^{2}+\alpha^{2}\gamma^{2}+\beta^{2}\gamma^{2}=q^{2}-2rp. \end{equation*}
Dividiendo por \(r^{2}= \alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}\)
\begin{equation*} \frac{1}{\gamma^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\frac{q^{2}-2rp}{r^{2} }. \end{equation*}
Considere el polinomio \(p(x) = 6x^3 - 11x^2 - 3x+2 \in \mathbb{R}[x]\text{;}\) cuyas raíces son \(\alpha,\beta\) y \(\gamma\text{.}\) Determinaremos el valor de
\begin{equation*} \alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}\text{.} \end{equation*}
Por las relaciones de Cardano-Vieta (Proposición 4.4.21), se tiene que
\begin{equation*} \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{11}{6}, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-\dfrac{1}{2}, \end{equation*}
\begin{equation*} \alpha\beta\gamma =-\dfrac{1}{3}. \end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*} \alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} =\dfrac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma}=\dfrac{3}{2}. \end{equation*}

Evidentemente, las relaciones de Cardano-Vieta pueden generalizarse para polinomios de grado \(n\) con coeficientes complejos.