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Sección 4.3 Algoritmo de la División, Divisibilidad y Máximo Común Divisor

Considere
\begin{equation*} p(x)=p(x)=2x^{7}-23x^{6}+12x^{5}-9x^{4}+2x^{3}-32x+3\text{,} \end{equation*}
\begin{equation*} s(x)=x^{3}-11x^{2}+1, \end{equation*}
en \(\mathbb{Q}[x]\text{.}\) Por Algoritmo de la División; existen únicos \(q(x)=2x^{4}-x^{3}+x^{2}+3\) (cociente) y \(r(x)=0\) (resto) en \(\mathbb{Q}[x]\text{,}\) tales que
\begin{equation*} 2x^{7}-23x^{6}+12x^{5}-9x^{4}+2x^{3}-32x+3=(2x^{4}-x^{3}+x^{2}+3)(x^{3}-11x^{2}+1). \end{equation*}
Considere
\begin{equation*} p(x)=x^{4}-4x^{2}+6, \end{equation*}
\begin{equation*} s(x)=x^{2}-\sqrt{2}, \end{equation*}
en \(\mathbb{R}[x]\text{.}\) Por Algoritmo de la División; existen únicos \(q(x)=x^{2}+(\sqrt{2}-4)\) (cociente) y \(r(x)=8-4\sqrt{2}\) (resto) en \(\mathbb{R}[x]\text{,}\) tales que
\begin{equation*} x^{4}-4x^{2}+6=(x^{2}-\sqrt{2})(x^{4}-4x^{2}+6)+8-4\sqrt{2}, \end{equation*}
verificandose grad \(r(x)=\) grad \((8-4\sqrt{2})=0 <\) grad \(s(x)=x^{2}-\sqrt{2}=2.\)

A continuación, se exhibe un mecánismo muy útil para la división de polinomios: la regla de Ruffini. Sin embargo, debe tener cuidado con su uso.

Definición 4.3.4.
(Regla de Ruffini) Sean \(p(x),s(x)\in F\left[x \right]\) tal que grad \(p(x)=n\ge 1\) y \(s(x)=x-a\) ( \(s(x)\) es de grado uno). Entonces se escriben los coeficientes de \(p(x)\) de manera decreciente en una tabla, completando con \(0\) si no aparece \(x^{i}\) ( \(i=1,...,n\)) y considerando \(a\in F\text{.}\) De esta manera, se consigue un cociente \(q(x)\) y resto \(r(x)\) de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\) en \(F[x].\)
Observación 4.3.5.
La Definición 4.3.4 puede no ser concisa. Sin embargo, veamos algunos ejemplos que permitan comprender de mejor manera este mecánismo.
Encontraremos el cociente y resto de la división entre \(p(x)=x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+3\) y \(s(x)=x+2\) en \(\mathbb{R}\left[x \right].\)

En efecto, por Ruffini (ya que grad \(p(x)=4\ge 1\) y \(s(x)=x+2\))

\begin{equation*} 1 \, \, \, \, \,\, \, \, \, 3 \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \, \,\, \, \,\,\, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, 3 \, \, \,\, \,| \, \, -2 \end{equation*}
\begin{equation*} \downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \, \,\, \, \, \, 8 \, \, \, \,\, \, \, \, -16 \, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
\begin{equation*} 1 \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, \, \, \, \, \, \, -4\, \, \, \,\, \, \, \, -8 \, \, \, \,\, \, \, \, -13 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
Obtenemos \(1 \, \, \, 1 \, \, \, -4 \, \, \,8 \text{.}\) Estos números corresponden a los coeficientes de \(q(x) \text{,}\) cociente de la división entre \(p(x) \) y \(s(x) \text{.}\) Como se dividió un polinomio de grado cuatro por uno de grado uno, el resultante (cociente) debe ser de grado tres. Así, \(q(x)=x^{3}+x^{2}-4x+8\text{.}\) Adicionalmente, \(r(x)=-13\text{.}\) La última casilla siempre nos proporcionará el resto \(r(x)\text{,}\) el cual será siempre constante (por el mecánismo de Ruffini).
Encontraremos el cociente y resto de la división entre \(p(x)=x^{4}+4x^{3}-6x^{2}+2x-1\) y \(s(x)=x-1\) en \(\mathbb{Q}\left[x \right].\)

En efecto, por Ruffini (ya que grad \(p(x)=4\ge 1\) y \(s(x)=x-1\))

\begin{equation*} 1 \, \, \, \, \,\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, \, -6 \, \, \, \,\, \, \,\,\, \, \, 2 \, \, \, \, \, \, \, -1 \, \, \,\, \,| \, \, 1 \end{equation*}
\begin{equation*} \downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 5\, \, \, \,\, \, \, \, -1 \, \, \, \,\, \, \, \, 1 \, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
\begin{equation*} 1 \, \, \, \, \, \, \, \, 5 \, \, \, \, \, \, \, \, -1\, \, \, \,\, \, \, \, 1 \, \, \, \,\, \, \, \, 0 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \, \, \end{equation*}
Obtenemos \(1 \, \, \, 5 \, \, \, -1 \, \, \,1\text{.}\) Estos números corresponden a los coeficientes de \(q(x)\text{,}\) cociente de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\text{.}\) Como se dividió un polinomio de grado cuatro por uno de grado uno, el resultante (cociente) debe ser de grado tres. Así, \(q(x)=x^{3}+5x^{2}-x+1\text{.}\) Adicionalmente, \(r(x)=0\text{.}\)

¿Que nos quiere decir que \(r(x)=0\text{?}\) ¡Que \((x-1)\) es un factor de \(p(x)\text{!.}\) Adicionalmente, \((x-1)|p(x)\) y 1 es raíz de \(p(x).\)

Observación 4.3.9.
De la Proposición 4.3.8; si \(p(a)=0\text{,}\) entonces \(a\) es raíz del polinomio \(p(x)\text{.}\)
Sean \(p(x)=x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-21x^{2}-5x+12\) y \(s(x)=x+3\text{.}\) Entonces \(s(-3)=0.\) Como el resto de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\) es nulo, por Observación 4.2.15; se concluye que \(-3\) es raíz del polinomio \(p(x)\text{.}\)
Definición 4.3.11.
(Divisibilidad) Sean \(p(x),s(x)\in R\left[ x\right]\text{,}\) tal que \(p(x)\neq 0\text{.}\) Se dice que \(p(x)\) divide a \(s(x)\) y se denota \(p(x)|s(x)\text{,}\) si existe un polinomio \(q(x)\in R\left[ x\right]\) que verifica
\begin{equation*} s(x)=p(x)q(x)\text{.} \end{equation*}
Considere \(p(x)=x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-21x^{2}-5x+12\) y \(s(x)=x+3\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\) Entonces \(s(x)|p(x)\text{;}\) pues existe \(q(x)=x^{4}-6x^{2}-3x+4\) en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) tal que
\begin{equation*} x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-21x^{2}-5x+12=(x^{4}-6x^{2}-3x+4)(x+3) \end{equation*}
Definición 4.3.13.
(Máximo Común Divisor) Sean \(p(x),q(x)\in R\left[ x\right]\text{;}\) no nulos. Se dice que un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\) es \(d(x)\) si
  1. Si \(d(x) | p(x)\) y \(d(x) | q(x)\text{.}\)
  2. Si \(d'(x)| p(x)\) y \(d'(x)| q(x)\) entonces \(d'(x) | d(x)\text{.}\)

El máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\) se denota (\(p(x),q(x)\)).

Observación 4.3.14.
Sea \(d(x)\text{,}\) un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) \(d(x)\)no es único, ya que \(a d(x) (a\neq 0, a\in (R[x])^{*} )\) también es un máximo común divisor de \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\)
Observación 4.3.15.
Sea \(d(x)\text{,}\) un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) Si \(d(x)\)es un polinomio mónico, entonces es único.

¡Para encontrar un máximo común divisor entre dos polinomios no nulos en \(R[x]\) se procede de la misma manera que en Números Enteros. ¡El último resto no nulo (por Algoritmo de la División entre \(p(x)\text{,}\) \(q(x)\) y \(r_{i}(x)\)) será el máximo común divisor buscado.

Sean \(p(x)=x^{3}+x^{2}-2x , s(x)=x^{3}-x\) en \(\mathbb{R}[x]\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} d(x)=(p(x),q(x))=x^{2}-x\text{,} \end{equation*}
es un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) La combinación lineal respectiva es
\begin{equation*} x^{2}-x=x^{3}+x^{2}-2x+(-1)(x^{3}-x). \end{equation*}
Sean \(p(x)=x^{5}+3x^{4}+4x+2 , s(x)=x^{3}+x^{2}+2x-1\) en \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[x]\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} d(x)=(p(x),q(x))=x+3\text{,} \end{equation*}
es un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) La combinación lineal respectiva es
\begin{equation*} x+3=(4x+3)(x^{5}+3x^{4}+4x+2)+(x^{3}+4x^{2}+3)(x^{3}+x^{2}+2x-1). \end{equation*}