Sección 4.3 Algoritmo de la División, Divisibilidad y Máximo Común Divisor
Teorema 4.3.1.
(Algoritmo de la División) Sean \(p(x),s(x)\in F\left[x \right]\text{;}\) tal que \(p(x)\neq 0\text{.}\) Entonces existen únicos polinomios \(q(x),r(x)\in F\left[x \right]\text{,}\) tales que
\begin{equation*}
p(x)=s(x)q(x)+r(x),
\end{equation*}
con \(r(x)=0\) o grad \(r(x)<\) grad \(s(x)\text{.}\) \(r(x)\) y \(q(x)\) se denominan resto y cociente (respectivamente) de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\text{.}\)Ejemplo 4.3.2.
\begin{equation*}
p(x)=p(x)=2x^{7}-23x^{6}+12x^{5}-9x^{4}+2x^{3}-32x+3\text{,}
\end{equation*}
\begin{equation*}
s(x)=x^{3}-11x^{2}+1,
\end{equation*}
en \(\mathbb{Q}[x]\text{.}\) Por Algoritmo de la División; existen únicos \(q(x)=2x^{4}-x^{3}+x^{2}+3\) (cociente) y \(r(x)=0\) (resto) en \(\mathbb{Q}[x]\text{,}\) tales que
\begin{equation*}
2x^{7}-23x^{6}+12x^{5}-9x^{4}+2x^{3}-32x+3=(2x^{4}-x^{3}+x^{2}+3)(x^{3}-11x^{2}+1).
\end{equation*}
Ejemplo 4.3.3.
\begin{equation*}
p(x)=x^{4}-4x^{2}+6,
\end{equation*}
\begin{equation*}
s(x)=x^{2}-\sqrt{2},
\end{equation*}
en \(\mathbb{R}[x]\text{.}\) Por Algoritmo de la División; existen únicos \(q(x)=x^{2}+(\sqrt{2}-4)\) (cociente) y \(r(x)=8-4\sqrt{2}\) (resto) en \(\mathbb{R}[x]\text{,}\) tales que
\begin{equation*}
x^{4}-4x^{2}+6=(x^{2}-\sqrt{2})(x^{4}-4x^{2}+6)+8-4\sqrt{2},
\end{equation*}
verificandose grad \(r(x)=\) grad \((8-4\sqrt{2})=0 <\) grad \(s(x)=x^{2}-\sqrt{2}=2.\)A continuación, se exhibe un mecánismo muy útil para la división de polinomios: la regla de Ruffini. Sin embargo, debe tener cuidado con su uso.
Definición 4.3.4.
(Regla de Ruffini) Sean \(p(x),s(x)\in F\left[x \right]\) tal que grad \(p(x)=n\ge 1\) y \(s(x)=x-a\) ( \(s(x)\) es de grado uno). Entonces se escriben los coeficientes de \(p(x)\) de manera decreciente en una tabla, completando con \(0\) si no aparece \(x^{i}\) ( \(i=1,...,n\)) y considerando \(a\in F\text{.}\) De esta manera, se consigue un cociente \(q(x)\) y resto \(r(x)\) de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\) en \(F[x].\)Observación 4.3.5.
La Definición 4.3.4 puede no ser concisa. Sin embargo, veamos algunos ejemplos que permitan comprender de mejor manera este mecánismo.Ejemplo 4.3.6.
En efecto, por Ruffini (ya que grad \(p(x)=4\ge 1\) y \(s(x)=x+2\))
\begin{equation*}
1 \, \, \, \, \,\, \, \, \, 3 \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \, \,\, \,
\,\,\, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, 3 \, \, \,\, \,| \, \, -2
\end{equation*}
\begin{equation*}
\downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, -2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\, \, -2 \, \, \, \,\, \, \, \, 8 \, \, \, \,\, \, \, \, -16 \, \,| \,
\, \, \, \, \,
\end{equation*}
\begin{equation*}
1 \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, \, \, \, \, \, \, -4\, \, \, \,\,
\, \, \, -8 \, \, \, \,\, \, \, \, -13 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \,
\,
\end{equation*}
Obtenemos \(1 \, \, \, 1 \, \, \, -4 \, \, \,8 \text{.}\) Estos números corresponden a los coeficientes de \(q(x) \text{,}\) cociente de la división entre \(p(x) \) y \(s(x) \text{.}\) Como se dividió un polinomio de grado cuatro por uno de grado uno, el resultante (cociente) debe ser de grado tres. Así, \(q(x)=x^{3}+x^{2}-4x+8\text{.}\) Adicionalmente, \(r(x)=-13\text{.}\) La última casilla siempre nos proporcionará el resto \(r(x)\text{,}\) el cual será siempre constante (por el mecánismo de Ruffini).Ejemplo 4.3.7.
En efecto, por Ruffini (ya que grad \(p(x)=4\ge 1\) y \(s(x)=x-1\))
\begin{equation*}
1 \, \, \, \, \,\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, \, -6 \, \, \, \,\, \,
\,\,\, \, \, 2 \, \, \, \, \, \, \, -1 \, \, \,\, \,| \, \, 1
\end{equation*}
\begin{equation*}
\downarrow \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\, \, 5\, \, \, \,\, \, \, \, -1 \, \, \, \,\, \, \, \, 1 \, \,| \, \,
\, \, \, \,
\end{equation*}
\begin{equation*}
1 \, \, \, \, \, \, \, \, 5 \, \, \, \, \, \, \, \, -1\, \, \, \,\,
\, \, \, 1 \, \, \, \,\, \, \, \, 0 \, \, \, \,\, \,| \, \, \, \, \,
\,
\end{equation*}
Obtenemos \(1 \, \, \, 5 \, \, \, -1 \, \, \,1\text{.}\) Estos números corresponden a los coeficientes de \(q(x)\text{,}\) cociente de la división entre \(p(x)\) y \(s(x)\text{.}\) Como se dividió un polinomio de grado cuatro por uno de grado uno, el resultante (cociente) debe ser de grado tres. Así, \(q(x)=x^{3}+5x^{2}-x+1\text{.}\) Adicionalmente, \(r(x)=0\text{.}\) ¿Que nos quiere decir que \(r(x)=0\text{?}\) ¡Que \((x-1)\) es un factor de \(p(x)\text{!.}\) Adicionalmente, \((x-1)|p(x)\) y 1 es raíz de \(p(x).\)
Proposición 4.3.8.
(Teorema del Resto) El resto \(r\) al dividir un polinomio \(p(x)\in F\left[ x\right]\) por \(s(x)= (x-a)\in F\left[ x\right]\) corresponde a \(p(a).\)Observación 4.3.9.
De la Proposición 4.3.8; si \(p(a)=0\text{,}\) entonces \(a\) es raíz del polinomio \(p(x)\text{.}\)Ejemplo 4.3.10.
Definición 4.3.11.
(Divisibilidad) Sean \(p(x),s(x)\in R\left[ x\right]\text{,}\) tal que \(p(x)\neq 0\text{.}\) Se dice que \(p(x)\) divide a \(s(x)\) y se denota \(p(x)|s(x)\text{,}\) si existe un polinomio \(q(x)\in R\left[ x\right]\) que verifica
\begin{equation*}
s(x)=p(x)q(x)\text{.}
\end{equation*}
Ejemplo 4.3.12.
\begin{equation*}
x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-21x^{2}-5x+12=(x^{4}-6x^{2}-3x+4)(x+3)
\end{equation*}
Definición 4.3.13.
(Máximo Común Divisor) Sean \(p(x),q(x)\in R\left[ x\right]\text{;}\) no nulos. Se dice que un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\) es \(d(x)\) si- Si \(d(x) | p(x)\) y \(d(x) | q(x)\text{.}\)
- Si \(d'(x)| p(x)\) y \(d'(x)| q(x)\) entonces \(d'(x) | d(x)\text{.}\)
El máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\) se denota (\(p(x),q(x)\)).
Observación 4.3.14.
Sea \(d(x)\text{,}\) un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) \(d(x)\)no es único, ya que \(a d(x) (a\neq 0, a\in (R[x])^{*} )\) también es un máximo común divisor de \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\)Observación 4.3.15.
Sea \(d(x)\text{,}\) un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) Si \(d(x)\)es un polinomio mónico, entonces es único.Proposición 4.3.16.
(Identidad de Bézout) Sean \(p(x),q(x)\in R[x]\) no nulos. Si \(d(x)\) es un máximo común divisor de \(p(x)\) y \(q(x)\text{,}\) entonces existen polinomios \(u(x),v(x)\in R[x]\) (no necesariamente únicos) tales que
\begin{equation*}
d(x)=u(x)p(x)+v(x)q(x)\text{.}
\end{equation*}
Proposición 4.3.17.
Sean \(p(x),q(x),s(x),r(x)\in R[x]\) no nulos y \(p(x)=q(x)s(x)+r(x)\text{.}\) Entonces
\begin{equation*}
(p(x),s(x))=(s(x),r(x)).
\end{equation*}
¡Para encontrar un máximo común divisor entre dos polinomios no nulos en \(R[x]\) se procede de la misma manera que en Números Enteros. ¡El último resto no nulo (por Algoritmo de la División entre \(p(x)\text{,}\) \(q(x)\) y \(r_{i}(x)\)) será el máximo común divisor buscado.
Ejemplo 4.3.18.
\begin{equation*}
d(x)=(p(x),q(x))=x^{2}-x\text{,}
\end{equation*}
es un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) La combinación lineal respectiva es
\begin{equation*}
x^{2}-x=x^{3}+x^{2}-2x+(-1)(x^{3}-x).
\end{equation*}
Ejemplo 4.3.19.
\begin{equation*}
d(x)=(p(x),q(x))=x+3\text{,}
\end{equation*}
es un máximo común divisor entre \(p(x)\) y \(q(x)\text{.}\) La combinación lineal respectiva es
\begin{equation*}
x+3=(4x+3)(x^{5}+3x^{4}+4x+2)+(x^{3}+4x^{2}+3)(x^{3}+x^{2}+2x-1).
\end{equation*}