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Sección 5.3 Operaciones Elementales Filas y Matrices Escalonadas

Para introducir el método de Gauss - Jordan (que nos permitirá resolver sistemas lineales de ecuaciones), será de suma importancia definir y dominar el concepto de operaciones elementales filas.

Definición 5.3.1.
(Operaciones Elementales Filas, OEF) Considere \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Sobre las filas de la matriz \(A\text{,}\) se definen las siguientes operaciones elementales:
  1. (Multiplicar una fila de una matriz por una constante no nula) La fila \(j\) de la matriz \(A\) (con \(1\le j\le m\)), se multiplica por un escalar no nulo \(\lambda\in F\) (cuerpo). Esto se denota por \(\lambda F_{j}\to F_{j}.\)

    ¿Cómo interpretar \(\lambda F_{j}\to F_{j}\text{?}\) La fila \(F_{j}\) de la matriz se reemplaza por \(\lambda F_{j}.\)

  2. (Intercambiar dos filas de una matriz) La filas \(i\) y \(j\) de la matriz \(A\) se intercambian (con \(1\le i,j\le m\)). Esto se denota por \(F_{i}\leftrightarrow F_{j}.\)

    ¿Cómo interpretar \(F_{i}\leftrightarrow F_{j}.\text{?}\) La fila \(F_{j}\) de la matriz se reemplaza por \(F_{i}\text{.}\) Por otro lado, la fila \(F_{i}\) de \(A\) se sustituye por \(F_{j}.\)

  3. (Sumar a una fila un multiplo no nulo de otra fila) La fila \(j\) de la matriz \(A\)(con \(1\le i,j\le m\)), se multiplica por un escalar no nulo \(\lambda\in F\)(cuerpo) y se le suma la fila \(i\text{.}\) Esto se denota por \(F_{i}+\lambda F_{j}\to F_{i} .\)

    ¿Cómo interpretar \(F_{i}+\lambda F_{j}\to F_{i}\text{?}\) La fila \(F_{i}\) de la matriz se reemplaza por \(F_{i}+\lambda F_{j}.\)

Veamos unos ejemplos sencillos en donde podemos emplear las operaciones elementales filas, dadas por la Definición 5.3.1.

Considere la matriz \(A\in \mathcal{M}_{3\times 3}(F)\) dada por
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Emplearemos la primera operación elemental fila. Multiplicaremos la segunda fila dos de \(A\) por \(-3\text{.}\) De esta forma, la notación de la operación elemental fila corresponde a \(-3F_{2}\to F_{2}\text{.}\) Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\,\, -3F_{2}\to F_{2} \,\sim\, \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ -3 & 6 & -3 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Considere la matriz \(B\in \mathcal{M}_{4\times 3}(F)\) dada por
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Emplearemos la segunda operación elemental fila. Intercambiaremos las filas uno y cuatro. De esta forma, la notación de la operación elemental fila corresponde a \(F_{1}\leftrightarrow F_{4}\text{.}\) Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}\,\, F_{1}\leftrightarrow F_{4} \,\sim\, \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Considere la matriz \(C\in \mathcal{M}_{3\times 2}(F)\) dada por
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Emplearemos la tercera operación elemental fila. Multiplicaremos la segunda fila por 2 y le sumaremos la tercera fila. Este resultado será reemplazado en la tercera fila. De esta forma, la notación de la operación elemental fila corresponde a \(2F_{2}+F_{3}\to F_{3}\text{.}\) Por lo tanto

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{pmatrix}\,\, 2F_{2}+F_{3}\to F_{3} \,\sim\, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 3 \\ 0 & 7 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

El uso de operaciones elementales filas nos permitirá determinar la forma escalonada (y escalonada reducida) de una matriz. Esto corresponde a la base del método de Gauss - Jordan (resolución de sistemas lineales de ecuaciones).

Introduciremos el concepto de matrices equivalentes, importante para comprender el concepto de rango (ver sección: Rango de una Matriz y Teorema de Rouche - Frobenius).

Definición 5.3.5.
(Matrices Equivalentes) Sean \(A,B \in \mathcal{M}_{m\times n}(F).\) Diremos que \(A\) es equivalente con \(B\) (y se denota \(A\sim B\)), si \(B\) es resultado de aplicar una secuencia finita de operaciones elementales filas en \(A.\)
Observación 5.3.6.
\(\sim\) es una relación de equivalencia (Definición 1.3.5). Sean \(A,B \in \mathcal{M}_{m\times n}(F),\) tales que \(A\) es equivalente con \(B\text{.}\) Entonces se verifica
  1. (Reflexividad) \(A \sim A\text{.}\)
  2. (Simetría) Si \(A \sim B\text{,}\) entonces \(B \sim A.\)
  3. (Transitividad) Si \(A \sim B\) y \(B \sim C\text{,}\) entonces \(A \sim C.\)

Veamos un ejemplo concreto en donde se utiliza el concepto de matrices equivalentes.

Considere las matrices \(A,B \in \mathcal{M}_{3\times 4}(F)\text{,}\) tales que

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& 2 \\ -3 & 5 & 1&-1 \\ 0 & -1 & -4& -3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& 2 \\ 0 & 1 & 4& 5 \\ 0 & 0 & 0& 2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Probaremos que \(A\sim B\text{.}\) Realizando sucesivas operaciones elementales filas sobre la matriz \(A\text{,}\) se tiene que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 2 \\ -3 & 5 & 1& -1 \\ 0 & -1 & -4& -3 \\ \end{pmatrix} \,\, 3F_{1}+F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1&2 \\ 0 & 1 & 4& 5 \\ 0 & -1 & -4&-3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& 2 \\ 0 & 1 & 4& 5 \\ 0 & -1 & -4& -3 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& 2 \\ 0 & 1 & 4& 5 \\ 0 & 0 & 0& 2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por lo tanto, \(A\sim B\text{.}\)

Sin embargo, la matriz \(B\) es más profunda de lo que uno podría pensar, pues corresponde a la forma escalonada de \(A\text{.}\) ¿Qué es la forma escalonada de una matriz? Lo definiremos a continuación.

Definición 5.3.8.
(Forma Escalonada de una Matriz) Sea \(A \in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Se dirá que \(A\) está en su forma escalonada, si verifica las siguientes condiciones:
  1. Todas las filas nulas de \(A\) (que consisten solamente de ceros) aparecen en la parte inferior de la matriz. Es decir, corresponden a las últimas filas de \(A\text{.}\) No hay ninguna fila no nula debajo de ellas.
  2. Para cada fila no nula de \(A\text{,}\) el primer elemento no nulo (de izquierda a derecha) es un \(1\text{.}\) Tal \(1\)es denotado "uno principal de dicha fila".
  3. En dos filas consecutivas no nulas, el uno principal de la fila superior aparece a la izquierda del uno principal de la fila inmediante inferior.

Esta definición puede parecer engorrosa. Veamos unos ejemplos de matrices escalonadas.

La matriz
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 2& 4 &0&1\\ 0& 0 &1&0 \\ 0& 0 &0&1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F), \end{equation*}
está en forma escalonada. ¿Por qué?
La matriz
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1& 3 &2&1\\ 0& 0 &1&0 \\ 0& 0 &0&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F), \end{equation*}
está en forma escalonada. ¿Por qué?
La matriz
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 1& 2 &3&-1\\ 0& 1 &3&-4 \\ 0& 0 &1&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F), \end{equation*}
está en forma escalonada. ¿Por qué?
La matriz
\begin{equation*} D=I_{4}=\begin{pmatrix} 1& 0 &0&0\\ 0& 1 &0&0 \\ 0& 0 &1&0\\ 0& 0 &0&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{4 \times 4}(F), \end{equation*}
está en forma escalonada. Más en general, la matriz identidad de orden \(n \times n\) siempre se encuentra en forma escalonada (al igual que la matriz nula de orden \(m \times n\)).
La matriz
\begin{equation*} E=\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0& 0 &0 \\ 0& 2 &1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F), \end{equation*}
no está en forma escalonada, pues no cumple la condición 1.
La matriz
\begin{equation*} F=\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0& 2 &0 \\ 0& 0 &1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F), \end{equation*}
no está en forma escalonada, pues no cumple la condición 2.
La matriz
\begin{equation*} G=\begin{pmatrix} 1& 3&2\\ 0& 0 &1 \\ 0& 1 &0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F), \end{equation*}
no está en forma escalonada, pues no cumple la condición 3.

Motivados por la matriz escalonada, también podemos definir el concepto de matriz escalonada reducida. Esto será relevante a la hora de trabajar con matrices inversas.

Definición 5.3.16.
(Forma Escalonada Reducida) Sea \(A \in \mathcal{M}_{m\times n}(F)\text{.}\) Se dirá que \(A\) está en su forma escalonada reducida, si verifica las siguientes condiciones:
  1. \(A\) está en forma escalonada.
  2. Cada uno principal es la única entrada no nula en su respectiva columna.

Veamos un par de ejemplos relacionados con la forma escalonada reducida de una matriz.

La matriz
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1& 3 &0&1\\ 0& 0 &1&0 \\ 0& 0 &0&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F), \end{equation*}
está en su forma escalonada reducida. ¿Por qué?
La matriz
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 3& 2 &1&7\\ 0& 0 &0&0 \\ -3& 4 &1&0\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F), \end{equation*}
no está en su forma escalonada reducida. ¿Por qué?
La matriz
\begin{equation*} C=I_{3}=\begin{pmatrix} 1& 0 &0\\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 &1\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F), \end{equation*}
está en su forma escalonada reducida. Más en general, la matriz identidad de orden \(n \times n\) siempre se encuentra en su forma escalonada reducida (al igual que la matriz nula de orden \(m \times n\)).
La matriz
\begin{equation*} D=\begin{pmatrix} 1& 0&5&-6\\ 0& 1 &3&4 \\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2 \times 4}(F), \end{equation*}
está en su forma escalonada reducida. ¿Por qué?

En lo que sigue, nos interesará determinar la forma escalonada reducida de una matriz. Veamos unos ejemplos.

Determinaremos la forma escalonada de la matriz \(A\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F),\) tal que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 3& 2&1&0\\ 1& 2 &1&1 \\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Realizando sucesivas operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3& 2&1&0\\ 1& 2 &1&1 \\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{1}\leftrightarrow F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 3& 2&1&0\\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 3& 2&1&0\\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}-3F_{1}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& -4&-2&-3\\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& -4&-2&-3\\ 0& -1 &-1&1 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}\leftrightarrow F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& -1&-1&1\\ 0& -4 &-2&-3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& -1&-1&1\\ 0& -4 &-2&-3 \\ \end{pmatrix} \,\, -F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& -4 &-2&-3 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& -4 &-2&-3 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}+4F_{2}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&2&-7 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&2&-7 \\ \end{pmatrix} \,\, \dfrac{1}{2}F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está escalonada (y corresponde a la forma escalonada de la matriz \(A\)).

Determinaremos la forma escalonada reducida de la matriz \(B\in \mathcal{M}_{3 \times 4}(F),\) tal que
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Realizando sucesivas operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}-F_{3}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &1&1 \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \,\, F_{1}-F_{3}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 1& 2 &0&\dfrac{9}{2} \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 2 &0&\dfrac{9}{2} \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \,\, F_{1}-2F_{2}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 1& 0 &0&-\dfrac{1}{2} \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que la matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& 0 &0&-\dfrac{1}{2} \\ 0& 1&0&\dfrac{5}{2}\\ 0& 0&1&-\dfrac{7}{2} \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

está escalonada reducida (y corresponde a la forma escalonada reducida de la matriz \(B\)).

Determine la forma escalonada de la matriz \(C\in \mathcal{M}_{3 \times 3}(F),\) tal que
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 3& 2 &1 \\ 1& 3&-1\\ -2&1&4 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Estamos en condiciones necesarias para introducir el método de Gauss - Jordan (o eliminación Gaussiana) que nos permitirá resolver sistemas lineales de ecuaciones. Pero antes (para una mejor comprensión), se debe definir el concepto de sistema lineal de ecuaciones, matriz ampliada, rango de una matriz y el Teorema de Rouche - Frobenius.

El método de Gauss - Jordan se encuentra en la sección: Sistemas Lineales de Ecuaciones II.