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Sección 5.7 Matriz Inversa

Definición 5.7.1.
(Matriz Inversa) Sea \(A\in\mathcal{M}_{n\times n}(F)\text{.}\) Se dice que \(B\in\mathcal{M}_{n\times n}(F)\) es la matriz inversa de \(A\text{,}\) si verifica
\begin{equation*} AB=BA=I_{n}, \end{equation*}

con \(I_{n}\text{,}\) matriz identidad de orden \(n\times n\text{.}\) La matriz inversa se denotará por \(A^{-1}\text{.}\) En tal caso, \(A^{-1}=B\text{.}\)

Considere la matriz \(A\in\mathcal{M}_{2\times 2}(F)\text{,}\) tal que
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 5&2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

A es una matriz invertible, pues existe \(A^{-1}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(F)\) con

\begin{equation*} A^{-1}=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -5&3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Esto, pues \(A\) y \(A^{-1}\) verifican:

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3&1 \\ 5&2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -5&3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2&-1 \\ -5&3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&1 \\ 5&2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
Observación 5.7.3.

Se debe enfatizar de que solo las matrices cuadradas (que poseen la misma cantidad de filas y colummnas) pueden aspirar a tener matriz inversa. Y puede que una matriz cuadrada no sea invertible.

El Teorema 5.7.5 nos proporcionará un criterio para determinar cuando una matriz es invertible.

El presente ejemplo generaliza las matrices invertibles de orden \(2\times 2\text{.}\) En efecto; sea \(B\in\mathcal{M}_{2\times 2}(F)\text{,}\) tal que
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

En caso de que \(ad-bc\neq 0\text{,}\) se tendrá que la matriz \(B\) es invertible. Y en particular, su inversa estará dada por

\begin{equation*} B^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Pero, ¿cómo deducir esta expresión? Lamentablemente no estamos en condiciones de probar tal resultado. Sin embargo, introduciendo el concepto de matriz adjunta y determinante de una matriz podremos demostrarlo. Y en particular, conjeturar una expresión general para la inversa de una matriz de orden \(n\times n\text{.}\) Este resultado se retomará en la sección siguiente del presente capítulo: Determinante de una Matriz.

Por ahora, solo podemos limitarnos a verificar que

\begin{equation*} \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por otro lado, esta expresión para la inversa de una matriz de orden \(2\times 2\) nos permite verificar el Ejemplo 5.7.2. En efecto, como

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 5&2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

entonces \(ad-bc=1\text{.}\) Por consiguiente

\begin{equation*} A^{-1}=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -5&3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

La siguiente proposición (ver Proposición 5.7.5) nos brinda un criterio para determinar si una matriz cuadrada es invertible o no.

En la proposición anterior, se utilizó el conjunto ker\((A)\text{.}\) Este último está definido como

\begin{equation*} \text{ker}(A):=\left\lbrace x\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R}):Ax=0_{n\times 1}\right\rbrace. \end{equation*}

Veamos dos ejemplos en los cuales podemos aplicar la Proposición 5.7.5.

La matriz \(A \in\mathcal{M}_{3\times 3}(F)\) con

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 2&-1&1 \\ 1&-5&3 \\ 0&2&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

es invertible, pues ran\((A)=3\) (Ejercicio).

La matriz \(B \in\mathcal{M}_{2\times 2}(F)\) con

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

no es invertible, pues ker\((B)\neq \left\lbrace 0\right\rbrace\text{.}\) En efecto

\begin{equation*} \text{ker}(B)=\left\lbrace x\in \mathcal{M}_{2\times 1}(\mathbb{R}):Ax=0_{2\times 1}\right\rbrace. \end{equation*}

Por consigueinte, se tiene la multiplicación de matrices

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

con

\begin{equation*} x=\begin{pmatrix} u \\ v \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se desprende el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{equation*} u+2v=0, \end{equation*}
\begin{equation*} 2u+4v=0. \end{equation*}

Note que ambas ecuaciones son equivalentes. Se concluye que \(u=-2v\text{.}\) Por lo tanto, el vector columna \(x\) puede expresarse como

\begin{equation*} x=\begin{pmatrix} -2v \\ v \\ \end{pmatrix}=v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

que claramente es no trivial, para todo \(v\in F\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace \text{.}\) Por lo tanto, ker\((B)\neq 0\text{.}\) Esto implica que \(B\) es una matriz invertible (por Teorema 5.7.5).

Pero, ¿cómo calcular la inversa de una matriz recurriendo a la Proposición 5.7.5? El siguiente algorítmo tiene la respuesta.

Definición 5.7.8.
(Algorítmo de la Inversa) Sea \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(F)\) una matriz invertible. Para determinar la inversa de la matriz \(A\) (que denotaremos \(A^{-1}\)), se deben cumplir los siguientes pasos:
  1. Se construye la matriz ampliada \((A:e_{1},e_{2},...,e_{n})\text{;}\) donde \(e_{1},...,e_{n}\) corresponden a vectores columnas, tales que
    \begin{equation*} e_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
    \begin{equation*} e_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
    \begin{equation*} e_{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ n\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  2. Se deben realizar sucesivas operaciones elementales filas sobre la matriz ampliada \((A:e_{1},e_{2},...,e_{n})\text{,}\) hasta obtener una matriz semejante \((e_{1},e_{2},...,e_{n},X_{1},X_{2},...,X_{n}).\) \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) corresponde a vectores columnas de orden \(n\times 1\text{.}\) En resumen
    \begin{equation*} (A:e_{1},e_{2},...,e_{n}) \simeq (e_{1},e_{2},...,e_{n},X_{1},X_{2},...,X_{n}). \end{equation*}
  3. Finalmente, la matriz inversa de \(A\) estará dada por
    \begin{equation*} A^{-1}=[X_{1},X_{2},...,X_{n}]. \end{equation*}

¿Cómo aplicar este algorítmo? Veamos unos ejemplos.

Considere la matriz \(A\in \mathcal{M}_{2\times 2}(F)\text{,}\) tal que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se puede probar que ran\((A)=2\text{.}\) Por Proposción 5.7.5, se concluye que \(A\) es invertible. Encontraremos su inversa. Por el Algorítmo de la Inversa (Definición 5.7.6), se debe considerar la matriz ampliada \((A:e_{1},e_{2})\text{.}\) Es decir

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 1 & 4:\, 0 &1\\ \end{pmatrix} \end{equation*}

Mediante sucesivas operaciones elementales filas, se intentará encontrar una matriz semejante \((e_{1},e_{2}:X_{1},X_{2})\) a \((A:e_{1},e_{2})\text{.}\) En efecto

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 1 & 4:\, 0 &1\\ \end{pmatrix} \,\, -\dfrac{1}{2}F_{1}+F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 0 &\dfrac{1}{2} :\, -\dfrac{1}{2} &1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 0 &\dfrac{1}{2} :\, -\dfrac{1}{2} &1\\ \end{pmatrix} \,\,2F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 7 :\, 1&0\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix} \,\, -7F_{2}+F_{1}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 :\, -8&14\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 0 :\, -8&14\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix} \,\,\dfrac{1}{2}F_{1}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 :\, -4&7\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que después de realizar una serie de operaciones filas, se obtuvo una matriz de la forma \((e_{1},e_{2}:X_{1},X_{2}).\) Tal matriz es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 :\, -4&7\\ 0 &1 :\, -1 &2\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por el Algorítmo de la Inversa (Definición 5.7.6), se sigue que

\begin{equation*} A^{-1}=\begin{pmatrix} -4&7\\ -1 &2\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se verifica

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2&7\\ 1 &4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4&7\\ -1 &2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} -4&7\\ -1 &2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&7\\ 1 &4\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Considere la matriz \(B\in \mathcal{M}_{3\times 3}(F)\text{,}\) tal que

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1 & -1 &1\\ 0& 1 &2\\ 2 & -1 &1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se puede probar que ran\((B)=3\text{.}\) Por Proposción 5.7.5, se concluye que \(B\) es invertible. Encontraremos su inversa. Por el Algorítmo de la Inversa (Definición 5.7.6), se debe considerar la matriz ampliada \((B:e_{1},e_{2},e_{3})\text{.}\) Es decir

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 2 & -1 &1:\, 0&0&1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Mediante sucesivas operaciones elementales filas, se intentará encontrar una matriz semejante \((e_{1},e_{2},e_{3}:X_{1},X_{2},X_{3})\) a \((B:e_{1},e_{2},e_{3})\text{.}\) En efecto

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 2 & -1 &1:\, 0&0&1\\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}-2F_{1}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 1 &-1:\,-2&0&1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 1 &-1:\,-2&0&1\\ \end{pmatrix} \,\,F_{3}-F_{2}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 0 &-3:\,-2&-1&1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 0 &-3:\,-2&-1&1\\ \end{pmatrix} \,\, -\dfrac{1}{3}F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &2:\, 0&1&0\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix} \,\,F_{2}-2F_{3}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &1:\, 1&0&0\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix} \,\,F_{1}-F_{3}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 &0:\, \dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 &0:\, \dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix} \,\,F_{1}+F_{2}\to F_{1} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0:\, -1&0&1\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Note que después de realizar una serie de operaciones filas, se obtuvo una matriz de la forma \((e_{1},e_{2}:X_{1},X_{2}).\) Tal matriz es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &0:\, -1&0&1\\ 0& 1 &0:\, -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ 0& 0 &1:\,\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Por el Algorítmo de la Inversa (Definición 5.7.6), se sigue que

\begin{equation*} B^{-1}=\begin{pmatrix} -1&0&1\\ -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se verifica

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 0&1&2\\ 2&-1&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1&0&1\\ -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1&0&1\\ -\dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 0&1&2\\ 2&-1&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

¿Y la inversa de una matriz será única? Considere la Proposición 5.7.11

Sea \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(F)\) una matriz invertible, cuya inversa está dada por \(B\text{.}\) Se probará que si \(C\) también corresponde a la matriz inversa de \(A\text{,}\) entonces \(B=C\text{.}\)

Como \(B\) y \(C\) son matrices inversas de \(A\text{,}\) entonces se verifica

\begin{equation*} AB=BA=I_{n}, \end{equation*}
\begin{equation*} AC=CA=I_{n}. \end{equation*}

Esto implica

\begin{equation*} B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C, \end{equation*}

pues el producto de matrices es asociativo. Esto concluye la demostración.

La siguiente proposición está relacionada con el producto de dos matrices invertibles.

Supondremos que \(AB\) es una matriz invertible. Entonces
\begin{equation*} (AB)(AB)^{-1}=I_{n}. \end{equation*}

Multiplicando por \(A^{-1}\) y asociando, se sigue que

\begin{equation*} (A^{-1}A)B(AB)^{-1}=A^{-1}I, \end{equation*}
\begin{equation*} IB(AB)^{-1}=A^{-1}, \end{equation*}
\begin{equation*} B(AB)^{-1}=A^{-1}. \end{equation*}

Finalmente, multiplicando por \(B^{-1}\) y asociando

\begin{equation*} (B^{-1}B)(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \end{equation*}
\begin{equation*} I(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \end{equation*}
\begin{equation*} (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. \end{equation*}

Para concluir la presente sección, se exhiben una serie de propiedades interesantes sobre la matriz inversa.

El interact de Sage que permite trabajar con matrices (calcular la inversa de una matriz) se encuentra en construcción. Mientras tanto, se adjunta el siguiente link a una página que cuenta con las mismas funciones. Esto les permitirá trabajar con matrices y verificar sus resultados paso a paso:

Calculadora de la Inversa de una Matriz: https://matrixcalc.org/es/