[skip-to-content]

Sección 3.9 Ejercicios

  1. Considere \(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}\)tales que \(a\equiv b\) (mod \(n\)) y \(c\equiv d\) (mod \(n\)). ¿Será cierto que \(a^{c} \equiv b^{d}\) (mod \(n\))?
  2. ¿Porque \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) es un cuerpo? Encuentre las tablas para la adición y multiplicación en \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\text{.}\)
  3. Demuestre que si \(p\) es primo y \(a,b \in \mathbb{Z}\text{,}\) entonces
    \begin{equation*} (a+b)^{p} \equiv a^{p}+b^{p} \ (\text{mod } p). \end{equation*}
  4. Demuestre que \(\left[241 \right]_{627} \in \mathbb{Z}/627\mathbb{Z}\) es invertible y encuentre su inverso.
  5. Pruebe que \(2^{18342} \equiv 1 \ (\text{mod } 7).\)
  6. Determine los dos últimos dígitos de \(11^{10}-9.\)
  7. Demuestre que si \(p\) y \(q\) son primos diferentes tales que \(a^{p}\equiv a\) (mod \(q\)) y \(a^{q} \equiv a\) (mod \(p\)), entonces
    \begin{equation*} a^{pq} \equiv a \ (\text{mod } pq). \end{equation*}
  8. En el conjunto \(\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}\text{;}\) encuentre el valor de \(\left[ 6!\right]_{7}\text{,}\) \(\left[ 3^{-1}\right]_{7}\text{,}\) \(\left[ 3^{1000}\right]_{7}\)y \(\dfrac{\left[ 2\right]_{7}}{\left[ 5\right]_{7} }+ \dfrac{\left[ 1\right]_{7}}{\left[ 4\right]_{7} }\text{.}\)
  9. Sea \(a\in \mathbb{Z}\) y \(n\in \mathbb{N}\text{.}\) Demuestre que la ecuación \(a^{x}\equiv 1\) (mod \(n\)) tiene solución \(x>0\) si y sólo si \(n\) y \(a\) son primos relativos.
  10. Pruebe que \(5^{38} \equiv 4\) (mod \(11\)).
  11. Calcule el resto de la división entre \(7^{44}\) y \(13\text{.}\)
  12. Demuestre que si \(p\) es un número primo, entonces \(\varphi(p)=p-1 .\)
  13. Demuestre que \(4444^{4444}\equiv 7\)(mod \(9\)).
  14. Usando congruencias; pruebe que \(11^{n+2}+12^{2n+1}\) es divisible por 133, para cualquier \(n\in \mathbb{N}.\)
  15. Resuelva \(4x\equiv13\) (mod \(47\)).
  16. Resuelva \(86x\equiv 32\) (mod \(44\)).
  17. Resuelva \(32x\equiv8\) (mod \(36\)).
  18. Resuelva \(7x\equiv4\) (mod \(15\)).
  19. Determine la solución del sistema de congruencias
    \begin{equation*} 5x-6y\equiv 12 \ (\text{mod } 19) \end{equation*}
    \begin{equation*} 3x+4y\equiv 16 \ (\text{mod } 19) \end{equation*}
  20. Determine la solución del sistema de congruencias
    \begin{equation*} -4x+8y \equiv -20 \ (\text{mod } 23) \end{equation*}
    \begin{equation*} 3x-4y\equiv 15 \ (\text{mod } 23) \end{equation*}
  21. ¿Qué enteros dan resto 1 al dividirlos por 2 y 3? ¿Qué enteros divisibles por 5 dan resto 1 al dividirlos por 3?
  22. Una cesta contiene una determinada cantidad de huevos. Si se extraen de a dos, de a tres, de a cuatro, de a cinco y de a seis, quedan respectivamente uno, dos, tres, cuatro y cinco huevos. Si en cambio se extraen de a siete no quedan huevos. ¿Cuál es la menor cantidad de huevos que puede haber en la cesta?
  23. Un distribuidor de equipos informáticos efectúo un pedido de entre 1000 y 1500 equipos a un fabricante que se los envío en contenedores completos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor los repartió a los diferentes puntos de venta usado furgonetas con capacidad para 20 equipos, dejando 32 equipos sin repartir en el almacén. ¿Cuántos equipos pidió el distribuidor a la fábrica?
  24. Se dispone de una cantidad par de monedas (menor que 600) que se quieren disponer en filas. Si se ordenan en filas de 17 monedas, sobran 8. Si se consideran únicamente la mitad de las monedas iniciales y se ordenan en filas de 7 monedas, sobran 3. ¿Cuántas monedas hay? ¿Es única la solución?
  25. Utilizando el Teorema Chino del Resto, resuelva la ecuación \(91x\equiv 419\) (mod \(440\)).
  26. Encuentre el resto de la división entre \(23!7!\) y \(29\text{.}\)
  27. Encuentre el resto de \(53!\) al ser divido por \(61\text{.}\)
  28. Calcule el resto de la división entre \((4^{103}+2\cdot 5^{104})^{102}\) y \(13\text{.}\)
  29. Utilizando el Teorema Chino del Resto, pruebe que \(561\) es un Número de Carmichael.
  30. Resuelva el sistema de congruencias
    \begin{equation*} 168x \equiv 24\ (\text{mod } 220) \end{equation*}
    \begin{equation*} 56x\equiv 40 \ (\text{mod } 68) \end{equation*}