Álgebra y Geometría

1. Se sabe que \(n |0\) y \(0=a-a\text{.}\) Por lo tanto; \(n|(a-a)\text{,}\) que implica \(a\equiv a \ (\text{mod } n)\text{.}\)

2. Por hipótesis, se sabe que \(a\equiv b \ (\text{mod } n)\text{.}\) Esto implica que \(n |(a-b)\text{.}\) Por otro lado, si \(n|y\) entonces \(n|(-y)\) (con \(y \in \mathbb{Z}\)). Bajo esta consideración, \(n |(b-a)\text{;}\) lo que implica \(b\equiv a \ (\text{mod } n)\text{.}\)

3. Por hipótesis, se sabe que \(a\equiv b \ (\text{mod } n)\) y \(b\equiv c \ (\text{mod } n)\text{.}\) Por lo tanto, existen únicos \(k,t \in \mathbb{Z}\) tales que \(nk=a-b\) y \(nt=b-c\text{.}\) Sumando estas dos igualdades, se obtiene \(n(k+t)=a-c\text{.}\) Esto implica \(a\equiv c \ (\text{mod } n)\text{.}\)

Como \(a\equiv b\) (mod \(n\)) y \(c\equiv d\) (mod \(n\)), entonces existen únicos \(k,t \in \mathbb{Z}\) tales que \(nk=a-b\) y \(nt=c-d\text{.}\)

Como \(nk=a-b\text{,}\) podemos multiplicar por \(\lambda\) (entero). Así, \(n (\lambda k)= \lambda a- \lambda b\text{.}\) Esto implica \(\lambda a\equiv \lambda b \ (\text{mod } n).\)

Por otro lado, sumando \(nk=a-b\) y \(nt=c-d\text{,}\) se obtiene \(n(k+t)=(a+c)-(b+d)\text{.}\) Esto implica \(a+c\equiv b+d \ (\text{mod } n)\text{.}\)

Multiplicando por \(c\text{,}\) la expresión \(nk=a-b\text{;}\) se consigue \(nkc=ac-bc\text{.}\) Si se multiplica por \(b\text{,}\) la expresión \(nt=c-d\text{;}\) se consigue \(ntb=cb-db\text{.}\) Al sumar estas cantidades, se logra \(n(kc+tb)=ac-bd\text{.}\) Esto implica \(ac\equiv bd \ (\text{mod } n)\text{.}\)

con \(k,n \in \mathbb{N}\) y \(a,b \in \mathbb{Z}\text{.}\)

\(p(1)\) es verdadero; pues por hipótesis, \(a\equiv b\) (mod \(n\)).

Considere la hipótesis de inducción \(p(k): a^{k}\equiv b^{k} \ (\text{mod } n)\text{.}\) Por demostrar \(p(k+1): a^{k+1}\equiv b^{k+1} \ (\text{mod } n)\) es verdadero. En efecto

Por Principio de Inducción, se verifica que si \(a\equiv b\) (mod \(n\)) entonces \(a^{k}\equiv b^{k} \ (\text{mod } n)\) para todo \(k\in \mathbb{N}.\)

Por hipótesis, se sabe que \(m | n\text{.}\) Además, \(a \equiv b\) (mod \(n\)) implica \(n |(a-b)\text{.}\) Por transitividad de la divisibilidad (si \(a | b\) y \(b | c\) entonces \(a | c\)), se concluye que \(m|(a-b)\text{.}\) Por lo tanto, \(a\equiv b\) (mod \(m\)).

Como \(ac\equiv bc\) (mod \(n\)), entonces \(n| c(a-b)\text{.}\) Adicionalmente, \((c,n)=1\) (es decir, \(n \not\mid \ c\)) entonces \(n| (a-b)\text{.}\) Por lo tanto, \(a\equiv b \ (\text{mod } n).\)

Como \(ac\equiv bc\) (mod \(p\)), entonces \(p| c(a-b)\text{.}\) Como \(p\) es primo, por Lema de Euclides; \(p|c\) \(\lor\) \(p|c\text{.}\) Sin embargo; \(p \not\mid \ c\text{,}\) por lo que \(p| (a-b)\text{.}\) Esto implica que \(a\equiv b \ (\text{mod } p).\)

Se asumirá que \(ac\equiv bc\) (mod \(n\)). Por lo tanto, \(n| c(a-b)\text{.}\) Por propiedad de divisibilidad, \(\dfrac{n}{d}| \dfrac{c}{d}(a-b)\text{.}\) Note que \(\dfrac{n}{d}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Z}\text{,}\) pues \((c,n)=d\) implica \(\left( \dfrac{c}{d},\dfrac{n}{d}\right)=1.\) De esto último, se consigue que \(\dfrac{n}{d} \not\mid \dfrac{c}{d}\text{.}\) Por lo tanto, \(\dfrac{n}{d}|(a-b)\text{.}\) Entonces \(a\equiv b \ \left(\text{mod } \dfrac{n}{d}\right).\)

Nuestra hipótesis es \(a\equiv b \ \left(\text{mod } \dfrac{n}{d}\right) \text{.}\) Por lo tanto, \(\dfrac{n}{d}|(a-b)\text{.}\) Por propiedad de divisibilidad, \(n|d(a-b)\text{.}\) Adicionalmente, ya que \((c,n)=d\) entonces \(d| c\text{.}\) Esto implica que \(d(a-b)| c(a-b)\text{.}\) Por transitividad de la divisibilidad, \(n|c(a-b)\text{.}\) Por lo tanto, \(ac\equiv bc\) (mod \(n\)).