Ecuaciones Diofánticas Lineales

Sección 2.5 Ecuaciones Diofánticas Lineales

Definición 2.5.1.

(Ecuación Diofántica Lineal) Sean \(a_{1}, a_{2},...,a_{n} \in \mathbb{Z}\) no nulos. Se denómina Ecuación Diofántica Lineal (con \(n\) variables) a la expresión

\begin{equation*} a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b\text{,} \end{equation*}

con \(b\in \mathbb{Z}\text{.}\) La \(n\) - tupla \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\) corresponde a la solución a ecuación.

Las soluciones de una Ecuación Diofántica Lineal deben ser números enteros. Rara vez se estudian Ecuaciones Diofánticas Lineales con \(n\) variables. En esta sección, sólo estudiaremos los casos \(n=2,3\text{.}\)

Definición 2.5.2.

Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) no nulos. Se denómina Ecuación Diofántica Lineal (con dos variables) a la expresión

\begin{equation*} ax +b y=c\text{,} \end{equation*}

con \(c\in \mathbb{Z}\text{.}\) El par \((x,y)\) corresponde a la solución a la ecuación.

Ejemplo 2.5.3.

Son ejemplos de Ecuaciones Diofánticas Lineales con dos variables:

\(6x+3y=1.\)
\(5x+10y=15.\)
\(2x-4y=5.\)
\(6x-2y=14.\)

¿Existe algún criterio para determinar cuando una Ecuación Diofántica Lineal con dos variables tiene soluciones enteras? La respuesta es afirmativa.

Proposición 2.5.4.

Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) no nulos. La ecuación

\begin{equation*} ax +b y=c\text{,} \end{equation*}

tiene soluciones enteras si y sólo si \((a,b)| c\text{.}\)

Ejemplo 2.5.5.

En virtud de la Proposición 2.5.4; \(3x+6y=1\) no posee soluciones enteras dado que \((3,6)=3\) y \(3 \not| 1\text{.}\)

Sin embargo; \(10x+5y=20\) si posee soluciones enteras, pues \((10,5)=5\) y \(5| 20 .\)

Es natural preguntarse si la solución a una Ecuación Diofántica Lineal (con dos variables) es única o no. Basta notar que \(2x+4y=6\) admite como solución a los pares \((-1,2)\) y \((3,0).\)

Por consiguiente, la solución no es única. ¡Existe un conjunto infinito de soluciones! y para describirlo explicitamente, solo basta encontrar una solución particular a la Ecuación Diofántica Lineal (con dos variables).

Proposición 2.5.6.

Sean \(a,b,c\in \mathbb{Z}\) tales que \(a,b\neq 0\text{,}\) \((a,b)=d\) y considere la Ecuación Diofántica Lineal \(ax +b y=c\)con \(d | c\text{.}\) El conjunto solución para las variables \(x\) e \(y\) son

\begin{equation*} x=x_{0}+\dfrac{bt}{d}, \end{equation*}

\begin{equation*} y=y_{0}-\dfrac{at}{d}, \end{equation*}

con \(t\in \mathbb{Z}\) y \((x_{0},y_{0})\text{;}\) solución partícular de \(a x +b y=c\text{.}\)

Para encontrar el conjunto solución, sólo basta con encontrar una solución partícular \((x_{0},y_{0})\) de \(a x +b y=c\text{.}\) ¿Cómo se encuentra formalmente esta solución partícular? ¡Basta practicar el Algoritmo Extendido de Euclides entre \(a\) y \(b\text{!}\) De esta manera, obtendrá una combinación lineal de la forma \(d=a x +b y\text{.}\) Esto implica que \(c=a (kx) +b (ky)=c\text{,}\) dado que \(d | c \Leftrightarrow dk=c\text{.}\) Así, \((x_{0},y_{0})=(kx,ky)\) son las soluciones partículares de \(a x +b y=c.\)

Ejercicio 2.5.7.

Determine el conjunto solución a la ecuación \(9x-12y=27.\)

¿Que ocurre en una Ecuación Diofántica Lineal con tres variables? Considere los siguientes resultados

Definición 2.5.8.

Sean \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) no nulos. Se denómina Ecuación Diofántica Lineal (con tres variables) a la expresión

\begin{equation*} ax +by+c z=d\text{,} \end{equation*}

con \(d\in \mathbb{Z}\text{.}\) El trío \((x,y,z)\) corresponde a la solución a la ecuación.

Ejemplo 2.5.9.

Son ejemplos de Ecuaciones Diofánticas Lineales con tres variables:

\(2x+3y-z=1.\)
\(5x+5y+10z=5.\)
\(2x+4y-3z=8.\)
\(6x-12y+18z=-2.\)

¿Existe algún criterio para determinar cuando una Ecuación Diofántica Lineal con tres variables tiene soluciones enteras? La respuesta es afirmativa.

Proposición 2.5.10.

Sean \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) no nulos. La ecuación \(ax +by+c z=d\) tiene soluciones enteras si y sólo si \((a,b,c)| d\text{.}\)

Ejemplo 2.5.11.

En virtud de la Proposición 2.5.10; \(3x+6y-9z=1\) no posee soluciones enteras dado que \((3,6,-9)=3\) y \(3 \not| 1\text{.}\)

Sin embargo; \(4x-6y-2z=2\) si posee soluciones enteras, pues \((4,-6,-2)=2\) y \(2| 2 .\)

Lamentablemente no es posible encontrar una expresión explicita para el conjunto solución de \(a\cdot x +b\cdot y+c\cdot z=d\) (como se realizó en la Proposición 2.5.6).

Sin embargo, de manera astuta se puede reducir a una Ecuación Diofántica Lineal con tres variables a una de dos. Y así, ¡se puede emplear la Proposición 2.5.6!