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Sección 3.3 Inversos Multiplicativos e Idempotentes en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

Definición 3.3.1.
Sea \(\left[a \right]_{n} \neq \left[ 0 \right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\) Se dice que \(\left[a \right]_{n}\)es invertible en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si existe \(\left[b \right]_{n} \neq \left[ 0 \right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tal que
\begin{equation*} \left[ a\right]_{n} \cdot \left[ b\right]_{n}=\left[ 1\right]_{n}\text{.} \end{equation*}
Observación 3.3.2.
La clase \(\left[b \right]_{n}\) (de la Definición 3.3.1) se denomina inverso multiplicativo de \(\left[a \right]_{n}\text{.}\)

Es natural preguntarse cuando una clase \(\left[a \right]_{n}\) es invertible. ¡La respuesta dependerá de \(a\)y \(n\text{!}\)

Si \(\left[a \right]_{n}\) (clase no nula) tiene inverso multiplicativo en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{,}\) entonces existe \(\left[b \right]_{n}\) (clase no nula) tal que \(\left[a \right]_{n}\cdot \left[b \right]_{n}=\left[1 \right]_{n}\text{.}\) Por consiguiente
\begin{align*} \left[a \right]_{n}\cdot \left[b \right]_{n}=\left[1 \right]_{n} \amp \Leftrightarrow \left[ab \right]_{n}=\left[1 \right]_{n},\\ \amp \Leftrightarrow ab\equiv 1 \ (\text{mod } n),\\ \amp \Leftrightarrow n|(ab-1),\\ \amp \Leftrightarrow \exists! \ t\in \mathbb{Z}:nt=ab-1,\\ \amp \Leftrightarrow 1=ab+n(-t),\\ \amp \Leftrightarrow (a,n)=1. \end{align*}

La siguiente proposición cobra vital importancia a la hora de relacionar el conjunto \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) con la estructura de cuerpo.

Supondremos que \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) es un cuerpo. Para probar que \(p\) es un número primo, utilizaremos contradicción. Diremos que \(p\) es un número compuesto, por lo que \(p\) admite una factorización no trivial. Es decir, \(p=a\cdot b\) (con \(a,b\) enteros positivos no nulos). Trabajando en módulo \(p\)

\begin{equation*} a\cdot b \equiv 0 \ (\text{mod } p). \end{equation*}

Por lo tanto, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) tiene divisores de cero; lo que contradice la hipótesis de que es cuerpo (un cuerpo no puede tener divisores de cero).

Por hipótesis, sabemos que \(p\) es un número primo. Considere un entero positivo no nulo \(a\) tal que \(a < p\text{.}\) Por lo tanto, mcd \((a,p)=1\text{.}\) Por Bézout, existen enteros \(x,y\) tales que

\begin{equation*} ax+py=1. \end{equation*}

Trabajando en módulo \(p\)

\begin{equation*} ax \equiv 1 \ ( \text{mod } p). \end{equation*}

Por lo tanto, todo elemento no nulo \(a\) tiene inverso multiplicativo (en particular, \(x\)). Por ende, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) es un cuerpo.

¿Como calcular el inverso múltiplicativo de una clase \(\left[a \right]_{n}\) que es invertible? ¡Sólo basta practicar el Algoritmo Extendido de Euclides entre \(a\) y \(n\) y después trabajar en módulo \(n\text{!}\) Considere el Ejemplo 3.3.5

Probaremos que \(\left[37 \right]_{81} \in \mathbb{Z}/81\mathbb{Z}\) es invertible y encontraremos su inverso.

En efecto, \(\left[37 \right]_{81}\) es invertible, pues mcd \((37,81)=1\text{.}\) Por Bézout, existen enteros \(x,y\) tales que

\begin{equation*} 1=37x+81y\text{.} \end{equation*}

\(x\) e \(y\) se obtienen al practicar el Algoritmo Extendido de Euclides. Por lo tanto

\begin{equation*} 1=(-35)\cdot 37+16\cdot 81. \end{equation*}

Trabajando en módulo 81

\begin{align*} \left[ 1\right]_{81}\amp =\left[ -35\right]_{81}\left[ 37\right]_{81}+\left[ 16\right]_{81}\left[ 81\right]_{81},\\ \left[ 1\right]_{81}\amp =\left[ -35\right]_{81}\left[ 37\right]_{81}. \end{align*}

Adicionalmente, \(\left[ 37\right]_{81}^{-1}=\left[ -35\right]_{81}=\left[ 46\right]_{81}\text{,}\) pues \(-35\equiv 46\) (mod \(81\)). Por lo tanto, el inverso de \(\left[ 37\right]_{81}\) es \(\left[ 46\right]_{81}\text{.}\)

Pruebe que \(\left[143 \right]_{672} \in \mathbb{Z}/672\mathbb{Z}\) es invertible y encuentre su inverso.

Sage también permite determinar el inverso multiplicativo de una clase \(\left[a \right]_{n}\text{.}\)

Definiremos un grupo muy importante. ¡El grupo de las unidades de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)

Definición 3.3.7.
Se define el grupo de las unidades de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) como el conjunto
\begin{equation*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}=\left\lbrace \left[a \right]_{n} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}: (a,n)=1 \right\rbrace. \end{equation*}
Determinaremos el conjunto \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^{*}\text{.}\) Note que
\begin{equation*} (1,12)=(5,12)=(7,12)=(11,12)=1\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, las unidades en \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) corresponden a las clases de \(\left[1 \right]_{12}, \left[5 \right]_{12}, \left[7 \right]_{12}\) y \(\left[11 \right]_{6}.\)
Observación 3.3.9.
\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\) posee estructura de grupo. Bajo la multiplicación (operación), verifica
  1. Cerradura: Si \(\left[a \right]_{n},\left[b \right]_{n} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\) entonces \(\left[a \right]_{n}\cdot \left[b \right]_{n} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*},\)
  2. Asociatividad: Para todo \(\left[a \right]_{n},\left[b \right]_{n},\left[c \right]_{n} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\text{,}\)
    \begin{equation*} (\left[ a\right]_{n}\cdot \left[ b\right]_{n})\cdot \left[ c\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\cdot (\left[ b\right]_{n}\cdot \left[ c\right]_{n}). \end{equation*}
  3. Existencia de Elemento Neutro: Existe \(\left[ 1\right]_{n}\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\) tal que para todo \(\left[ a\right]_{n}\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\text{,}\) se verifica
    \begin{equation*} \left[ a\right]_{n}\cdot \left[ 1\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\text{.} \end{equation*}
  4. Existencia de Elemento Inverso: Existe \(\left[ b\right]_{n}\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\) tal que para todo \(\left[ a\right]_{n}\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\text{,}\) se verifica
    \begin{equation*} \left[ a\right]_{n}\cdot\left[ b\right]_{n}=\left[ 1\right]_{n}\text{.} \end{equation*}

Nuevamente Sage nos proporciona una herramienta que permite calcular las unidades de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)

Por último, ¿qué son los elementos idempotentes en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{?}\)

Definición 3.3.10.
Se dice que la clase \(\left[a \right]_{n} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) es idempotente si
\begin{equation*} a^{2}\equiv a \ (\text{mod } n ). \end{equation*}
Observación 3.3.11.
Las clases \(\left[0 \right]_{n}\) y \(\left[1 \right]_{n}\) se denominan idempotentes triviales.
Observación 3.3.12.
Ningún elemento invertible en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) es idempotente, salvo \(\left[1 \right]_{n}\text{.}\)
Considere \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\text{.}\) Note que
\begin{align*} 6^{2}\amp = 36\equiv 6 \ (\text{mod } 30),\\ 10^{2}\amp = 100\equiv 10 \ (\text{mod } 30),\\ 15^{2}\amp = 225\equiv 15 \ (\text{mod } 30). \end{align*}
Por lo tanto, \(\left[6 \right]_{30},\left[10 \right]_{30}\) y \(\left[15 \right]_{30}\) son idempotentes en \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\text{.}\)
Pruebe que \(\left[56 \right]_{77}\) y \(\left[22 \right]_{77}\) son idempotentes en \(\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}\text{.}\)

Por último, el siguiente interact de Sage permitirá verificar si dados \(a\) y \(n\)(a seleccionar), la clase \(\left[a \right]_{n}\) es idempotente en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)