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Sección 5.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales II (Resolución mediante Gauss - Jordan)

El método de Gauss - Jordan (o también conocido como eliminación Gaussiana), será la técnica empleada para resolver sistemas lineales de ecuaciones. Tal mecánismo es presentado a continuación (ver Definición 5.6.1).

Definición 5.6.1.
(Método de Gauss - Jordan aplicado a Sistemas de Ecuaciones Lineales) Considere el sistema de ecuaciones \(A\vec{x}=\vec{b}\text{.}\) El mecánismo de Gauss - Jordan consiste en determinar la forma escalonada de una matriz ampliada \((A:b)\text{,}\) mediante la aplicación de sucesivas operaciones elementales filas.

La idea detrás del Método de Gauss - Jordan se fundamenta en obtener la forma escalonada de la matriz ampliada asociada a un sistema de ecuaciones. De esta forma (como la forma escalonada es equivalente con la matriz ampliada original), determinar las soluciones sera muy sencillo (pues la matriz escalonada estará triangularizada superiormente). Veamos ejemplos concretos.

Considere el sistema de ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} -x+2y+z=1,\\ 3x-5y+z=-14,\\ -4x+7y+5z=0.\\ \end{cases} \end{equation*}

Es sabido (ver Ejemplo 5.5.9 en la sección: Rango de una Matriz y Teorema de Rouche - Frobenius) que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1& :\, 1 \\ 0 & 1 & 4&\,\,:\, -11 \\ 0 & 0 & 5&:\, -15 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

corresponde a la forma escalonada de la matriz ampliada asociada al sistema. Adicionalmente

\begin{equation*} \text{ran}(A) = \text{ran}(A:b)=3, \end{equation*}

por lo que el sistema tiene solución única. Para determinar la solución, note que la forma escalonada de la matriz ampliada conduce a las ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} -x+2y+z=1,\\ y+4z=-1,\\ 5z=-15.\\ \end{cases} \end{equation*}

Es directo ver que \(z=-3\text{.}\) Reemplazando en la expresión \(y+4z=-1\text{,}\) se obtiene \(y=11\text{.}\) Esto implica (como \(-x+2y+z=1\)) que \(x=18\text{.}\)

Por lo tanto, el vector columna solución del sistema es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 18 \\ 11 \\ -3\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Y efectivamente tal vector columna es solución, pues

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1&\\ 3 & -5 & 1& \\ -4 & 7 & 5&\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 18 \\ 11 \\ -3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -14 \\ 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Considere el sistema de ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+2y+z=3,\\ 3x+5y+z=-1.\\ \end{cases} \end{equation*}

Es sabido (ver Ejemplo 5.5.10 en la sección: Rango de una Matriz y Teorema de Rouche - Frobenius) que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1& :\, 3\\ 0 & 1 & 2&:\, 10 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

corresponde a la forma escalonada de la matriz ampliada asociada al sistema. Adicionalmente

\begin{equation*} \text{ran}(A) = \text{ran}(A:b)=2\lt 3, \end{equation*}

por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. Pero, ¿cómo determinar un conjunto solución para tal sistema? Note que la forma escalonada de la matriz ampliada conduce a las ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+2y+z=3,\\ y+2z=10.\\ \end{cases} \end{equation*}

Se debe fijar una variable. ¿Cuál? Aquella que este presente en las dos ecuaciones. La única variable que cumple tal condición es \(z\text{.}\) Por consiguiente, digamos \(z=t\) ( \(t\in F\)). De esta forma

\begin{equation*} y=10-2t. \end{equation*}

Reemplazando el valor de \(y\) en \(x+2y+z=3\text{,}\) se sigue que

\begin{equation*} x+2(10-2t)+t=3 \Rightarrow x=3t-17. \end{equation*}

Por lo tanto, el vector columna solución del sistema es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3t-17 \\ 10-2t \\ t\\ \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -17 \\ 10 \\ 0\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

con \(t\in F\text{.}\)

Considere el sistema de ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+y-z=1,\\x-y+z=7,\\-x+y+z=3,\\ 2x+ky-4z=k.\\ \end{cases} \end{equation*}

Se estudiará las soluciones del sistema, según el valor de \(k\in F\text{.}\)

Considere la matriz ampliada asociada al sistema

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 1 & -1 & 1&:\, 7 \\ -1 & 1 & 1& :\, 3\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 1 & -1 & 1&:\, 7 \\ -1 & 1 & 1& :\, 3\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}-F_{1}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ -1 & 1 & 1& :\, 3\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ -1 & 1 & 1& :\, 3\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix} \,\, F_{1}+F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 2 & 0& :\, 4\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 2 & 0& :\, 4\\ 2 & k & -4&:\, k \\ \end{pmatrix} \,\, F_{4}-2F_{1}\to F_{4} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 2 & 0& :\, 4\\ 0 & k-2 & -2&:\, k-2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 2 & 0& :\, 4\\ 0 & k-2 & -2&:\, k-2 \\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}+F_{2}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & k-2 & -2&:\, k-2 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & k-2 & -2&:\, k-2 \\ \end{pmatrix} \,\, 2F_{4}+(k-2)F_{2}\to F_{4} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & 0 & 2(k-4)&:\, 8(k-2) \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & 0 & 2(k-4)&:\, 8(k-2) \\ \end{pmatrix} \,\, F_{4}-(k-4)F_{3}\to F_{4} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & 0 & 0&:\, 2(12-k) \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Recuerde que la cantidad de incognitas que presenta el sistema de ecuaciones es 3. Por lo tanto; para que posea solución única, debe verificarse que

\begin{equation*} \text{ran}(A)=\text{ran}(A:b)=3. \end{equation*}

Claramente ran \((A)=3\text{.}\) Para que ran \((A:b)=3\text{,}\) se debe verificar

\begin{equation*} 2(12-k)=0. \end{equation*}
Es decir, \(k=12\text{.}\) Por lo tanto, la matriz ampliada \((A:b)\)resulta
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1& :\, 1\\ 0 & -2 & 2&:\, 6 \\ 0 & 0 & 2& :\, 10\\ 0 & 0 & 0&:\,0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Esto conduce a las ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+y-z=1,\\ -2y+2z=6,\\ 2z=10.\\ \end{cases} \end{equation*}

Evidentemente \(z=5\text{.}\) Reemplazando en la expresión \(-2y+2z=6\text{,}\) se obtiene \(y=2\text{.}\) Se obtiene el valor de \(x\) al evaluar los valores de \(z\) e \(y\) en \(x+y-z=1\text{.}\) Así, \(x=4\text{.}\)

De esta forma, el vector columna solución del sistema es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Y efectivamente tal vector columna es solución, pues

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&\\ 1 & -1 & 1& \\ -1 & 1 & 1&\\ 2 & 12 & -4&\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \\ 12 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

En caso de que \(2(12-a)\neq 0\text{.}\) Es decir; \(a\neq 12\text{,}\) el sistema no tiene solución. Esto, pues

\begin{equation*} \text{ran}(A)=3\lt \text{ran}(A:b)=4. \end{equation*}

Considere el sistema de ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+k+3z=2,\\x+y-z=1,\\2x+3y+k=3. \end{cases} \end{equation*}

Se estudiará las soluciones del sistema, según el valor de \(k\in F\text{.}\)

Considere la matriz ampliada asociada al sistema

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & k & 3& :\, 2\\ 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & k & 3& :\, 2\\ 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix} \,\, F_{1}\leftrightarrow F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 1 & k & 3& :\, 2\\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 1 & k & 3& :\, 2\\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}-F_{1}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ 2 & 3 & k& :\, 3\\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}-2F_{1}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ \end{pmatrix} \,\, F_{2}\leftrightarrow F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ 0 & k-1 & 4& :\, 1\\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}+(1-k)F_{2}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ 0 & 0 & -k^{2}-k+6& :\, 2-k\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Recuerde que la cantidad de incognitas que presenta el sistema de ecuaciones es 3. Por otro lado, el valor de ran \((A)\) dependerá de \(k\text{.}\) En caso de que \(-k^{2}-k+6=0\text{,}\) entonces \(k_{1}=2\) y \(k_{2}=-3.\)

Si \(k=2\text{,}\) se obtiene la matriz ampliada

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & 4& :\, 1\\ 0 & 0 & 0& :\, 0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Esto conduce a las ecuaciones lineales

\begin{equation*} \begin{cases} x+y-z=1,\\ y+4z=1.\\ \end{cases} \end{equation*}

Note que ran \((A)=\) ran \((A:b)=2\lt 3\text{.}\) Esto implica que el sistema lineal de ecuaciones tiene infinitas soluciones. En particular, se puede fijar una variable. Se fijará \(z\text{.}\) Es decir, \(z=t\) (con \(t\in F\)).

Lo anterior (al reemplazar el valor de \(z\) en \(y+4z=1\)) implica que

\begin{equation*} y=1-4t. \end{equation*}
Evaluando los valores de \(z\) e \(y\) en la ecuación \(x+y-z=1\text{,}\) se logra
\begin{equation*} x=5t. \end{equation*}

De esta forma, el vector columna solución del sistema es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5t \\ 1-4t \\ t\\ \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

con \(t\in F.\)

En caso de que \(k=-3\text{,}\) se obtiene la matriz ampliada

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & 4& :\, 1\\ 0 & 0 & 0& :\, 5\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Claramente ran \((A)=2 \lt\) ran \((A:b)=3\text{.}\) Esto implica que el sistema lineal de ecuaciones no tiene solución.

Si \(-k^{2}-k+6\neq 0\text{,}\) entonces se sigue que ran \((A)=\) ran \((A:b)=3\text{.}\) Por consiguiente, el sistema lineal de ecuaciones tiene solución única. ¡La encontraremos!. Note que la matriz ampliada

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1&:\, 1 \\ 0 &1 & k+2& :\, 1\\ 0 & 0 & -k^{2}-k+6& :\, 2-k\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

es equivalente al sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{cases} x+y-z=1,\\ y+(k+2)z=1,\\ (-k^{2}-k+6)z=2-k.\\ \end{cases} \end{equation*}

Se concluye que

\begin{equation*} z=\dfrac{2-k}{-k^{2}-k+6}=\dfrac{1}{k+3}. \end{equation*}

Evaluando el valor de \(z\) en \(y+(k+2)z=1\) (y simplificando), se logra

\begin{equation*} y=\dfrac{1}{k+3}. \end{equation*}

Por consiguiente; al reemplazar estos valores en \(x+y-z=1\text{,}\) se consigue

\begin{equation*} x=1. \end{equation*}

De esta forma, el vector columna solución del sistema es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{1}{k+3} \\ \dfrac{1}{k+3}\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

Para finalizar esta sección, veamos como resolver un problema de planteo (que involucra sistemas de ecuaciones lineales) mediante el método de Gauss - Jordan.

Javier, Juan y Ricardo deciden jugar tres partidas de dados, de manera que cuando uno de ellos pierda; debe entregar a los otros dos jugadores una cantidad de dinero igual a la que posean en ese momento. Si cada uno de ellos perdió una partida y al final del juego todos obtuvieron 24 usd. ¿Cuánto tenía cada jugador antes de comenzar a jugar?

Supondremos que Javier, Juan y Ricardo disponen de \(x,y,z\) dolares inicialmente. Adicionalmente, Javier pierde en el primer turno. Juan en el segundo turno y Ricardo en el tercer turno. Por consiguiente, tal situación puede ser modelada por la siguiente tabla.

Primera Partida (Pierde Javier) Segunda Partida (Pierde Juan) Tercera Partida (Pierde Ricardo)
Cantidad de dinero de Javier: \(x\) \(x-y-z\) \(2(x-y-z)\) \(4(x-y-z)\)
Cantidad de dinero de Juan: \(y\) \(2y\) \(2y-(x-y-z)-2z=-x+3y-z\) \(2(-x+3y-z)\)
Cantidad de dinero de Ricardo: \(z\) \(2z\) \(4z\) \(4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z)=-x-y+7z\)

De la tabla anterior, se desprende el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{cases} 4(x-y-z)=24,\\ 2(-x+3y-z)=24,\\ -x-y+7z=24,\\ \end{cases} \end{equation*}

pues 24 usd es la ganancia obtenida por los jugadores al cabo de tres turnos. Lo anterior, puede simplificarse y reescribirse como

\begin{equation*} \begin{cases} x-y-z=6,\\ -x+3y-z=12,\\ -x-y+7z=24.\\ \end{cases} \end{equation*}

Considere la matriz ampliada asociada al último sistema

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1& :\, 6\\ -1 & 3 & -1&:\, 12 \\ -1 & -1 & 7& :\, 24\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

Realizando operaciones elementales filas, se sigue que

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1& :\, 6\\ -1 & 3 & -1&:\, 12 \\ -1 & -1 & 7& :\, 24\\ \end{pmatrix} \,\, F_{1} \leftrightarrow F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1& :\, 6\\ 0 & 2 & -2&:\, 18 \\ -1 & -1 & 7& :\, 24\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1& :\, 6\\ 0 & 2 & -2&:\, 18 \\ -1 & -1 & 7& :\, 24\\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}+F_{1}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 2 & -2& :\, 18\\ 0 & -2 & 6& :\, 30\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 2 & -2& :\, 18\\ 0 & -2 & 6& :\, 30\\ \end{pmatrix} \,\,\dfrac{1}{2}F_{2}\to F_{2} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & -2 & 6& :\, 30\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & -2 & 6& :\, 30\\ \end{pmatrix} \,\, \dfrac{1}{2}F_{3}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & -1 & 3& :\, 15\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & -1 & 3& :\, 15\\ \end{pmatrix} \,\, F_{3}+F_{2}\to F_{3} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & 0 & 2& :\, 24\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

La matriz

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1&:\, 6 \\ 0 & 1 & -1& :\, 9\\ 0 & 0 & 2& :\, 24\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

es equivalente al sistema de ecuaciones

\begin{equation*} \begin{cases} x-y-z=6,\\ y-z=9,\\ 2z=24.\\ \end{cases} \end{equation*}
Por consiguiente, \(z=12\text{.}\) Esto implica (al reemplazar en cualquiera de las ecuaciones) que \(x=39\) e \(y=21\text{.}\)

De esta forma; Javier, Juan y Ricardo disponían (antes de comenzar el juego) de 39, 21 y 12 dolares (respectivamente).

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