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Sección 4.2 Definición y Propiedades Básicas

Definición 4.2.1.
Se denomina polinomio con coeficientes en \(R\) (en la indeterminada \(x\)) a la expresión
\begin{equation*} p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}, \end{equation*}
con \(a_{i}\in R\) y \(n\in \mathbb{N} \cup \left\lbrace 0\right\rbrace .\)
La expresión \(p(x)=\dfrac{4}{3}x^{6}-5x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{6}{5}\) es un polinomio con coeficientes racionales. Es decir \(p(x) \in \mathbb{Q}\left[x \right]\text{,}\) pues \(\dfrac{4}{3}, -5, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{6}{5} \in \mathbb{Q}.\)
La expresión \(q(x)= \sqrt{\pi}x^{5}+\ln(2)x^{2}-\dfrac{3}{2}x^{2}-1\) es un polinomio con coeficientes reales. Es decir \(q(x) \in \mathbb{R}\left[x \right]\text{,}\) pues \(\sqrt{\pi},\ln(2), -\dfrac{3}{2}, -1 \in \mathbb{R}.\)
Observación 4.2.4.
De la Definición 4.2.1, se debe verificar exhaustivamente de que si \(p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\in R[x]\text{;}\) entonces \(n\in \mathbb{N} \cup \left\lbrace 0\right\rbrace .\)
La expresión \(p(x)=3x^{-3}+2x^{2}+x^{-1}-\dfrac{1}{3} \in R[x]\) no es un polinomio, pues \(-3, -1 \not\in \mathbb{N} \cup \left\lbrace 0\right\rbrace.\)
La expresión \(q(x)=\sqrt{2}x^{-8}+3x^{-2/3}-\dfrac{1}{6} \in R[x]\) no es un polinomio, pues \(-8, -2/3 \not\in \mathbb{N} \cup \left\lbrace 0\right\rbrace.\)
Definición 4.2.7.
Sean \(p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\text{,}\) \(q(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^t b_{i}x^{i} \in R[x]\text{.}\) Se dice que \(p(x)\) y \(q(x)\) son iguales si sus coeficientes son iguales. Es decir, en el caso en que \(n\le t\text{;}\) entonces
\begin{equation*} \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}= \displaystyle\sum_{i=0}^t b_{i}x^{i} \Leftrightarrow a_{j}=b_{j}, \,\, \forall \,\, j\le n \land \,\, b_{j}=0, \,\, \forall \,\, n < j. \end{equation*}
Definición 4.2.8.
Sea \(R\) un anillo unitario (existe \(1=1_{R}\in R\)). Se pueden definir los polinomios \(1\) y \(0\) en \(R[x]\text{,}\) tales que
\begin{equation*} 1=1+0x+0x^{2}+0x^{3}+...+0x^{j}, \end{equation*}
\begin{equation*} 0=0+0x+0x^{2}+0x^{3}+...+0x^{s}, \end{equation*}
con \(j,s \in \mathbb{N}\text{.}\)
Definición 4.2.9.
El conjunto \(R[x]\) de polinomios con coeficientes en \(R\text{,}\) está dotado de dos operaciones: suma y producto. Considere
\begin{equation*} p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\in R[x] \end{equation*}
\begin{equation*} q(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^t b_{i}x^{i}\in R[x] \end{equation*}
Entonces, se definen
  1. Suma \(+\) :
    \begin{equation*} p(x)+q(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}+ \displaystyle\sum_{i=0}^t b_{i}x^{i}= \displaystyle\sum_{i=0}^{ \max{(n,t)}} (a_{i}+b_{i})x^{i}. \end{equation*}
  2. Producto \(\cdot\) :
    \begin{equation*} p(x)\cdot q(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\cdot \displaystyle\sum_{i=0}^t b_{i}x^{i}= \displaystyle\sum_{i=0}^{ n+t} c_{i}x^{i}, \end{equation*}
    con \(c_{k}=\displaystyle\sum_{i=0}^k a_{i}b_{k-i}.\)
Considere los polinomios \(p(x),q(x)\in \mathbb{R}[x]\text{;}\) tales que
\begin{equation*} p(x)=x^{5}+3x^{3}+\pi x, \end{equation*}
\begin{equation*} q(x)=x^{2}-3x+\sqrt{2}. \end{equation*}
Por lo tanto
\begin{equation*} p(x)+q(x)=x^{5}+3x^{3}+x^{2}+(\pi-3)x+\sqrt{2}, \end{equation*}
\begin{equation*} p(x)\cdot q(x)=x^{7}-3x^{6}+(\sqrt{2}+3)x^{5}-9x^{4}+3\sqrt{2}x^{3}+\pi x^{3}-3\pi x^{2}+\sqrt{2}\pi x. \end{equation*}
Observación 4.2.11.
Sea \(R\) un anilo conmutativo y unitario. De la Proposición 4.2.12, \(R[x]\) dotado de las operaciones suma y producto (Definición 4.2.9) es un anillo conmutativo y unitario.
Observación 4.2.13.
¿Existirá el inverso multiplicativon de un polinomio \(p(x )\in R[x]\text{?}\) Todo dependerá del anillo \(R\) con el que se está trabajando. Esto nos motiva a introducir el concepto de grado de un polinomio.
Definición 4.2.14.
Sea \(p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\in R[x]\text{.}\) Se dice que el grado de \(p(x)\) es \(n\) y se denota grad \(p(x)=n\text{.}\) Esto quiere decir que \(n\) es el mayor entero no negativo tal que \(a_{n}\neq 0.\)
Definición 4.2.15.
Sea \(p(x)= \displaystyle\sum_{i=0}^n a_{i}x^{i}\in R[x]\text{.}\) Entonces \(a_{n}\neq 0\) se denomina coeficiente supremo de \(p(x)\)
Observación 4.2.16.
Si el coeficiente supremo de un polinomio \(p(x)\in R[x]\) (con \(R\text{,}\) anillo unitario) es \(1\text{,}\) entonces se dirá que \(p(x)\) es mónico.
Sea \(p(x)=8x^{3}+3x^{2}-3x+1\in \mathbb{R}[x]\text{.}\) Entonces \(p(x)\) es un polinomio de grado tres, el cual no es mónico; pues \(8\neq 1\text{.}\)
Observación 4.2.18.
¡Al polinomio \(0\) no se le asocia el grado!

En lo que resta de esta sección (y para evitar confusiones), se fijará el anillo \(R=\mathbb{R}\text{.}\) Recuerde que un cuerpo también es un anillo (es el caso de los números reales).

Como hemos definido el concepto de grado, estamos en condiciones de definir los elementos invertibles (o unidades) en \(\mathbb{R}[x]\text{.}\)

Definición 4.2.20.
Los elementos invertibles (o unidades) en \(\mathbb{R}[x]\) son los polinomios de grado cero. Es decir, las constantes reales no nulas. De manera más precisa
\begin{equation*} (\mathbb{R}[x])^{*}=\left\lbrace p(x)\in \mathbb{R}[x]: \text{grad}\,\, p(x)=0\right\rbrace =\left\lbrace a \in \mathbb{R}: a \neq 0 \right\rbrace. \end{equation*}

De manera análoga, se pueden definir los elementos invertibles en \(\mathbb{Q}[x]\) o en \(\mathbb{Z}[x]\) (ver Ejemplo 4.2.21)

\begin{equation*} (\mathbb{Q}[x])^{*}=\left\lbrace p(x)\in \mathbb{Q}[x]: \text{grad}\,\, p(x)=0\right\rbrace =\left\lbrace a \in \mathbb{Q}: a \neq 0 \right\rbrace. \end{equation*}
\begin{equation*} (\mathbb{Z}[x])^{*}=\left\lbrace -1,1\right\rbrace. \end{equation*}
Definición 4.2.22.
Se dice que dos polinomios \(p(x), q(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) son asociados si existe una constante real no nula \(c\text{,}\) tal que
\begin{equation*} p(x)=cq(x)\text{.} \end{equation*}