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Sección 4.1 Tópicos Introductorios en Álgebra Abstracta

En la presente sección, se proporcionará el concepto de grupo, anillo y cuerpo. ¿La razón? Poder definir los polinomios de manera más general posible: sea en \(R\left[x \right]\) ( \(R\text{,}\) anillo cualquiera) o en \(F\left[x \right]\) ( \(F\text{,}\) cuerpo cualquiera); los cuales serán especificados en cada caso.

Definición 4.1.1.
(Grupo) Un grupo es un conjunto no vacío \(G\text{,}\) dotado de una operación \(\bullet\) que verifica las siguientes propiedades
  1. \(\bullet\) es cerrada. Es decir, si \(a,b\in G\) entonces \(a \bullet b\in G\text{.}\)
  2. \(\bullet\) es asociativa. Para cualquier elemento \(a,b,c\in G\) se verifica: \((a \bullet b) \bullet c=a \bullet (b \bullet c)\text{.}\)
  3. (Elemento Neutro) Existe un elemento \(e\in G\) tal que para todo \(a\in G\text{,}\) \((e \bullet a) = (a \bullet e)=a\text{.}\)
  4. (Elemento Inverso) Existe un elemento \(b\in G\) tal que para todo \(a\in G\text{,}\) \((a \bullet b) = (b \bullet a)=e\text{.}\)

Como notación se utilizará \((G,\bullet)\text{:}\) un grupo \(G\) bajo una operación interna \(\bullet\text{.}\)

Si \((G,\bullet)\) cumple con la propiedad \(a \bullet b = b \bullet a\) (para todo \(a,b\in G\)), se dirá que es un grupo abeliano o conmutativo.

\(\mathbb{Z}\text{,}\) \(\mathbb{Q}\text{,}\) \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\text{,}\) forman un grupo con la operación suma \(+\text{.}\) De la misma manera: \(\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q}\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace\text{,}\) \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace\text{,}\) \(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace\text{,}\) componen un grupo con la operación multiplicación \(\cdot\text{.}\)
El conjunto \(s(n)\) de todas las permutaciones \(\left\lbrace 1,2,...,n\right\rbrace\) forman un grupo con la operación: composición de funciones.

El concepto de grupo como estructura algebraica, nos permitirá introducir y facilitar el estudios de los anillos y cuerpos.

Definición 4.1.4.
(Anillo) Consideremos un conjunto no vacío \(R\) y las operaciones \(+\) y \(\cdot\) (usualmente, suma y multiplicación respectivamente). Un anillo \((R,+,\cdot)\) es un grupo abeliano \((R,+)\text{,}\) el cual también está dotado de una operación \(\cdot\) que verifica las siguientes propiedades
  1. \(\cdot\) es asociativa. Para cualquier elemento \(a,b,c\in R\) se verifica: \((a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\text{.}\)
  2. \(\cdot\) es distribuitiva (respecto a \(+\)). Para cualquier elemento \(a,b,c\in R\) se verifica: \(a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c\) y \((b+c)\cdot a =b\cdot a + c\cdot a\text{.}\)

Si existe \(1_{R}\in R\text{;}\) tal que para todo \(a\in R\) se cumple: \(1_{R}\cdot a=a\cdot 1_{R}=a\text{,}\) se dirá que \(R\) es un anillo unitario.

Dada las operaciones \(+\) y \(\cdot\text{,}\) se tiene que \((\mathbb{Z},+,\cdot)\text{,}\) \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\cdot)\)\((\mathbb{Q},+,\cdot)\text{,}\) \((\mathbb{R}\left[ x\right] ,+,\cdot)\text{,}\) \((\mathbb{C},+,\cdot)\) son ejemplos de anillos unitarios y conmutativos.
El conjunto \(\mathcal{C}\left[ 0,1\right]\) de las funciones continuas \(f:\left[ 0,1\right] \to \mathbb{R}\) con las operaciones \(+\) y \(\cdot\text{,}\) las cuales verifican
\begin{equation*} (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{equation*}
\begin{equation*} (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \end{equation*}
es un anillo no conmutativo y unitario.
Definición 4.1.7.
(Cuerpo) Considere un anillo \((R,+,\cdot)\text{,}\) conmutativo y unitario. Se dirá que \(F=R\) es un cuerpo, si todo elemento no nulo de \(R\) posee inverso multiplicativo (el cual es único).
Se tiene que \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) (con \(p\) primo), \(\mathbb{Q}\text{,}\) \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\) son cuerpos dotados de las operaciones \(+\) (suma) y \(\cdot\) (multiplicación).
Se define \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}):=\left\lbrace a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q} \right\rbrace\text{.}\) En efecto, \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) es un cuerpo dotado de las operaciones habituales: suma y producto.

Se tienen las contenciones

\begin{equation*} \text{Cuerpo}\subset \text{Anillo}\subset \text{Grupo}. \end{equation*}