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Sección 5.9 Ejercicios

  1. Considere la matriz

    \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0&1 \\ 2&-1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

    y la función de variable real, \(f(x)=3x^{3}-4x^{2}+13.\)

    Determine \(f(A)\text{.}\) Encuentre el par ordenado \(U= (x,y)\text{,}\) tal que satisfaga \(AU=U\text{.}\) Repita el mismo procedimiento para \(AU=-2U\text{.}\)

  2. Sea \(B\in \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\text{,}\) tal que

    \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

    Se define tr \((B):=a+d\text{,}\) que corresponde a la traza de la matriz \(B\text{.}\) Por otro lado, det \((B):=ad-bc\) corresponde al determinante de la matriz \(B\text{.}\)

    Sabiendo que tr \((B)=8\) y det \((B)=12\text{;}\) encuentre los valores de \(\lambda \in \mathbb{R}\text{,}\) tales que det \((\lambda I-B)=0\text{.}\)

  3. Determine el(los) valor(es) de \(\mu \in \mathbb{R}\text{,}\) tal que la matriz

    \begin{equation*} C=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{d\mu}\left(\dfrac{2\mu^{3}-3\mu^{2}}{6}\right)&\displaystyle\int_{0}^{\mu} (2x-3)\, dx \\ \ln(e^{\mu+1})&\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\frac{-x+\mu+\mu x^{3}+\mu^{2}x^{2}+2x^{3}}{\sqrt{\pi}+2x-3\mu^{8}x^{2}+x^{3}}} \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}

    es no invertible.

  4. Determine explícitamente las matrices \(X,Y \in \mathcal{M}_{2\times 2} (\mathbb{R})\text{,}\) tales que
    \begin{equation*} 5X+3Y=\begin{pmatrix} 2&0 \\ -4&15 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
    \begin{equation*} 3X+2Y=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ -2&9 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  5. Determine el par ordenado \((x,y)\text{,}\) que satisface el sistema de ecuaciones

    \begin{equation*} 2x-5y=8, \end{equation*}
    \begin{equation*} -x+4y=3. \end{equation*}
  6. Sea \(\theta\text{,}\) el ángulo formado por el vector \(\vec{v}= (x,y)\text{.}\) La matriz de rotación de \(\vec{v}\) es

    \begin{equation*} \mathcal{R}_{\vec{v},\theta}=\begin{pmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta) \\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \\ \end{pmatrix}\displaystyle\binom{x}{y}. \end{equation*}

    Determine \(\mathcal{R}_{(1,3),\frac{\pi}{4}}\) y \(\mathcal{R}_{(2,5),\frac{2\pi}{3}}\text{.}\)

  7. Verdadero o Falso. En caso de que una proposición sea verdadera, demuestrela. En caso contrario, proporcione un contrajemplo. Un grupo abeliano es una estructura algebraica \((G,+)\text{;}\) donde \(G\) es un conjunto no vacío y \(+\) es una operación binaria que verifica las propiedades de cerradura, asociatividad, existencia y unicidad de elemento neutro e inverso (respectivamente) y conmutatividad.

    1. \(( \mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R}), +)\) es un grupo abeliano.
    2. \(( \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}), \cdot)\) es un grupo abeliano.
    3. Sean \(A,B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{.}\) Entonces \((A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}\text{.}\)
  8. Una empresa se dedica a la preparación masiva de cócteles. En esta oportunidad; se les solicitó preparar margaritas, para un evento a realizarse la tarde de este viernes. La empresa dispone de tres bidones: \(B_{1}\text{,}\) \(B_{2}\) y \(B_{3}\text{.}\) El primer bidón contiene 20 litros de tequila, 30 litros de licor de naranja y 50 litros de jugo de limón. Por otro lado; \(B_{2}\) trae consigo 30 litros de tequila, 20 litros de licor de naranja y 60 litros de jugo de limón. Finalmente, el tercer bidón dispone de 25 litros de limonada y 30 litros de tequila y licor de naranja. Los precios de medio litro de tequila, licor de naranja y limonada corresponden a 6, 3 y 2 (miles de peso) respectivamente. Determine los precios por litro de cada bidón

  9. Considere las matrices \(A,B\) y \(C\) (con coeficientes reales), tales que

    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 2&0&2 \\ 0&-2&1 \\ \end{pmatrix}\,B=\begin{pmatrix} -2&1+\sqrt{2} \\ 0&-2 \\ 1&1 \\ \end{pmatrix}\,C=\begin{pmatrix} 0&4 \\ 1&2\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

    Determine (cuando tengan sentido):

    1. \((AB)^{2}-C^{2}.\)
    2. \(3A+\sqrt{\pi}B^{t}.\)
    3. \(A^{2}+B^{2}.\)
    4. \(ABC+C^{2}.\)
    5. \((A+8I_{2\times 3})^{t}.\)
    6. \(A^{5}B^{-2}.\)
  10. Determine explícitamente las matrices \(X,Y \in \mathcal{M}_{3\times 3} (\mathbb{R})\text{,}\) tales que
    \begin{equation*} 2X-5Y=\begin{pmatrix} 8&0&1 \\ 3&4&1 \\ 1&0&1 \\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
    \begin{equation*} -X+4Y=\begin{pmatrix} 0&1&2 \\ 3&0&1 \\ 0&0&1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  11. Determine la matriz inversa de
    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta) \\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  12. Tres familias: \(A,B\) y \(C\text{;}\) deciden irse de vacaciones. Sin embargo, han olvidado reservar su hospedaje; por lo que solo cuentan con tres hoteles: \(H_{1}\text{,}\) \(H_{2}\) y \(H_{3}\) para alojarse. En \(A\) se requiere de dos habitaciones dobles y una simple. Por otro lado, en \(B\) se necesitan tres habitaciones dobles y una simple. Finalmente, en \(C\) se precisa de una habitación doble y dos simple. En el hotel \(H_{1}\text{,}\) los precios de las habitaciones doble y simple (por día) es de \(84\) usd y \(45\) usd respectivamente. En \(H_{2}\text{,}\) se tiene \(86\) usd (habitación doble) y 43 usd (habitación simple) al día. Por último; en \(H_{3}\text{,}\) se tiene 85 usd (habitación doble) y 44 usd (habitación simple) al día.

    1. Exprese de manera matricial, el número de habitaciones dobles y simples que necesitan las familias. Repita el mismo procedimiento para el precio por el tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.
    2. Obtenga una matriz que refleje el gasto diario que tendrán las familias en cada uno de los hoteles. ¿En cual les conviene hospedarse?
  13. Considere la matriz \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{1000\times 1000}(\mathbb{R})\text{.}\) Determine explicitamente \(A\) y calcule tr \((A)\text{.}\) Se sabe que:

    \begin{equation*} a_{ij}= \begin{cases} i \amp \text{si } i\le j\\ 0 \amp \text{si } i\gt j \end{cases} \end{equation*}
  14. Considere las matrices \(B,C\in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\)

    \begin{equation*} B=\begin{pmatrix} -1&-2&-2 \\ 1&2&1 \\ 0&-1&-1 \\ \end{pmatrix}\, C=\begin{pmatrix} -3&0&4 \\ 2&1&-2 \\ -2&-2&-1 \\ \end{pmatrix}\ \end{equation*}
  15. Considere \(D\in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\)

    \begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

    Determine una formula para \(D^{n}\) y demuéstrala recurriendo al principio de inducción. Calcule \(15D^{19}\text{.}\)

  16. Determine el orden de nilpotencia de la matriz
    \begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&1&3 \\ 5&2&6 \\ -2&-1&-3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  17. Determine todos los elementos del conjunto

    \begin{equation*} X=\left\lbrace M\in \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}): M^{2}=0_{2} \right\rbrace . \end{equation*}
  18. Pruebe que si \(F\) es una matriz simétrica, entonces \(F^{2}\) también resulta ser una matriz simétrica.

  19. Determine la forma escalonada de la matriz \(A\in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\text{.}\) Considere

    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 4&-2&-1 \\ 2&-1&3 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  20. Se sabe que la forma escalonada reducida de una matriz \(B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\) es \(I_{n}\) (matriz identidad de \(n\times n\)). Pruebe que \(B\) se puede expresar como producto de matrices elementales.

  21. Utilizando el método de Gauss - Jordan, encuentre la solución respectiva al sistema de ecuaciones

    \begin{equation*} \begin{cases} x+y+2z+3t=-1,\\ -x-2y-3z-4t=0,\\ 2x+3y+5z+7t=1,\\ 2x+2y+4z+6t=2.\end{cases} \end{equation*}
  22. Utilizando el método de Gauss - Jordan, encuentre la solución respectiva al sistema de ecuaciones

    \begin{equation*} \begin{cases} 3x-2y+4z=8,\\ 2x+3y-3z=4,\\ x-3y-5z=-6,\\ 4x+4y+6z=18.\end{cases} \end{equation*}
  23. Determine todos los valores de \(x,y,z\in \mathbb{R}\) tales que

    \begin{equation*} \begin{cases} \tan(x)-\sin(y)+\cos(z)=2,\\ \tan(x)-2\sin(y)=2,\\ \sin(y)-\cos(z)=-1.\end{cases} \end{equation*}
  24. Tres amigos deciden jugar tres partidas de dados, de manera que cuando uno de ellos pierda; debe entregar a los otros dos jugadores una cantidad de dinero igual a la que posean en ese momento. Si cada uno de ellos perdió una partida y al final del juego todos obtuvieron 24 usd. ¿Cuánto tenía cada jugador antes de comenzar a jugar?
  25. Considere las matrices \(A\) y \(B\) (con coeficientes reales), tales que

    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -1&2&3&2 \\ -3&6&10&8 \\ -2&4&7&6 \\ \end{pmatrix}\, B=\begin{pmatrix} 1&2&0 \\ -1&0&0 \\ 1&6&-1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

    Determine ran \((A)\) y ran \((B)\text{.}\)

  26. Verdadero o Falso. En caso de que una proposición sea verdadera, demuestrela. En caso contrario, proporcione un contraejemplo.

    1. Sea \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{.}\) Entonces ran \((A)^{2}=\) ran \((A^{2})\text{.}\)
    2. Considere \(A,B,C \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\) y \(AB=AC\) tal que ran \((A) =n\text{.}\) Entonces \(B=C\text{.}\)
    3. Sean \(A,B \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{.}\) Entonces ran \((A+B)=\) ran \((A)+\) ran \((B)\text{.}\)
    4. Considere \(A,B \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\) y ran \((A) =\) ran \((B)=n\text{.}\) Entonces ran \((A-B)\lt n\text{.}\)
  27. Determine el valor de \(\alpha \in \mathbb{R}\) para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado. En caso de que exista tal \(\alpha\text{,}\) encuentre la solución correspondiente.

    \begin{equation*} \begin{cases} x+y-z=1,\\ x-y+z=7,\\ -x+y+z=3,\\ 2x+\alpha y-4z=\alpha.\end{cases} \end{equation*}
  28. Encuentre el valor de \(\beta \in \mathbb{R}\) para que el siguiente sistema de ecuaciones posea

    \begin{equation*} \begin{cases} x+\beta y+3z=2,\\ x+y-z=1,\\ 2x+3y+\beta z=3.\end{cases} \end{equation*}
    1. Solución única.
    2. Soluciones infinitas.
    3. No exista solución.
  29. Verdadero o Falso. En caso de que una proposición sea verdadera, demuestrela. En caso contrario, proporcione un contraejemplo.

    1. Considere \(0=0_{n\times 1}\text{,}\) \(x\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})\) y \(A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{.}\) Pruebe que si \(A\) es una matriz invertible, entonces la solución del sistema de ecuaciones \(Ax=0\) es trivial.
    2. Sea \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\text{.}\) Si ker \((A)=\left\lbrace 0\right\rbrace\) y \(m=n \text{;}\) entonces el sistema de ecuaciones \(Ax=b\) posee una única solución \(x\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})\text{,}\) con \(b\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})\text{.}\)
    3. Si ran \(( A)=n=m\text{;}\) entonces existen infinitos \(x\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})\) tales que \(Ax=b\text{,}\) con \(b\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})\text{.}\)

    Observación: Recuerde que ker \((A)=\left\lbrace x\in \mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R}):Ax=0_{n\times 1}\right\rbrace\text{.}\)

  30. Considere la matriz \(C\in \mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})\)

    \begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 2&-3\\ 8&0 \\ -5&2 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}

    Determine la solución del sistema de ecuaciones \(Cx=(-13,32,-6)^{t}\text{.}\)

  31. Calcule la matriz inversa de \(A \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\text{,}\) usando el algorítmo de la inversa. Pruebe que la matriz obtenida verifica:\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A =I_{3\times 3}\text{.}\) Se sabe que

    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 2&1&-1 \\ 1&0&1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
  32. Calcule la matriz inversa de \(B \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\text{,}\) usando el algorítmo de la inversa. Pruebe que la matriz obtenida verifica: \(B\cdot B^{-1}=B^{-1}\cdot B =I_{3\times 3}\text{.}\) Se sabe que

    \begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&2&4\\ 1&3&9 \\ 1&4&16 \\ \end{pmatrix}. \end{equation*}

    ¿Puede notar un patrón en esta matriz? \(B\) tiene un nombre en particular.

  33. Pruebe que si \(A,B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) \) son matrices invertibles, entonces

    \begin{equation*} (A\cdot B)^{-1}= B^{-1}\cdot A^{-1}. \end{equation*}

    Demuestre además que \((A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t} \text{,}\) donde \(A^{t} \) denota la matriz traspuesta de \(A\)

  34. Sean \(A,B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) \text{.}\) donde \(I-AB \) es invertible. Por convención, se establecerá \(I_{n\times n}=I \) (matriz identidad). Pruebe que si \(I-BA \) es invertible, entonces

    \begin{equation*} (I-BA)^{-1}=I+B(I-AB)^{-1}A \end{equation*}
  35. Considere las matrices \(A,B \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\text{,}\) tales que \(A,B \) y \(A+B \) son invertibles. Pruebe que \(A^{-1}+B^{-1} \) es invertible.