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Sección 2.2 Algoritmo de la División y Divisibilidad

Como se menciono en la sección anterior, el conjunto de los Números Enteros dispone de una propiedad muy importante e interesante: un Algortimo de División.

Del Teorema 2.2.1 (Algoritmo de la División) es natural preguntarse que ocurre si \(b<0\text{.}\) El siguiente resultado (Corolario 2.2.2) nos permite resolver tal interrogante.

El cuociente y resto de la división entre \(684\) y \(-233\) está dado por \(-2\) y \(218\) (respectivamente).

Por lo tanto; \(684=(-233)\cdot(-2)+218\text{,}\) con \(0 \le 218 < \left|-233 \right|=233.\)

Si queremos practicar el Algoritmo de la División con números extensos y positivos, disponemos de Sage.

Veamos un ejemplo teorico que involucra el Algoritmo de la División.

El cubo de cualquier número entero puede escribirse de la forma \(9k\text{,}\) \(9l+1\) o \(9h+8\) con \(k,l,h \in \mathbb{Z}.\)

Del Corolario 2.2.2, nos preguntamos que ocurre si \(r=0\text{.}\) Esto nos motiva a introducir el concepto de divisibilidad y divisores.

Definición 2.2.5.
(Divisibilidad) Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) y \(b\neq 0\text{.}\) Se dice que \(b\) es un divisor de \(a\) si y sólo si existe un único \(q \in \mathbb{Z}\) tal que \(a=qb\text{.}\) Se denota \(b |a\text{.}\)

Si \(a,b\) son números enteros muy extensos. ¿Cómo saber si \(b |a\text{?}\) ¡Sage responderá a tal pregunta!

Considere las siguientes propiedades de la divisibilidad.

Pruebe que si la ecuación \(x^{3}+ax+b=0\) admite a un número entero \(n\) como solución, entonces \(n |b\text{.}\)
Pruebe que si \(a,b\) son enteros no nulos tales que \(a | b\) entonces \(\left|a \right| \le \left|b\right|\text{.}\)