Sección 2.2 Algoritmo de la División y Divisibilidad
Como se menciono en la sección anterior, el conjunto de los Números Enteros dispone de una propiedad muy importante e interesante: un Algortimo de División.
Teorema 2.2.1.
(Algoritmo de la División) Si \(a,b \in \mathbb{Z}\) y \(b>0\) entonces existen únicos \(q,r \in \mathbb{Z}\) tales que \(a=qb+r\) con \(0 \le r < b\text{.}\) Los enteros \(q\) y \(r\)se denominan cuociente y resto (respectivamente).Del Teorema 2.2.1 (Algoritmo de la División) es natural preguntarse que ocurre si \(b<0\text{.}\) El siguiente resultado (Corolario 2.2.2) nos permite resolver tal interrogante.
Corolario 2.2.2.
Si \(a,b \in \mathbb{Z}\) y \(b\neq 0\) entonces existen únicos \(q,r \in \mathbb{Z}\) tales que \(a=qb+r\) con \(0 \le r < \left|b \right|\text{.}\)Ejemplo 2.2.3.
El cuociente y resto de la división entre \(684\) y \(-233\) está dado por \(-2\) y \(218\) (respectivamente).
Por lo tanto; \(684=(-233)\cdot(-2)+218\text{,}\) con \(0 \le 218 < \left|-233 \right|=233.\)
Si queremos practicar el Algoritmo de la División con números extensos y positivos, disponemos de Sage.
Veamos un ejemplo teorico que involucra el Algoritmo de la División.
Ejemplo 2.2.4.
Del Corolario 2.2.2, nos preguntamos que ocurre si \(r=0\text{.}\) Esto nos motiva a introducir el concepto de divisibilidad y divisores.
Definición 2.2.5.
(Divisibilidad) Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) y \(b\neq 0\text{.}\) Se dice que \(b\) es un divisor de \(a\) si y sólo si existe un único \(q \in \mathbb{Z}\) tal que \(a=qb\text{.}\) Se denota \(b |a\text{.}\)Si \(a,b\) son números enteros muy extensos. ¿Cómo saber si \(b |a\text{?}\) ¡Sage responderá a tal pregunta!
Considere las siguientes propiedades de la divisibilidad.
Proposición 2.2.6.
Sean \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) tales que \(a,b,c \neq 0\text{.}\) Entonces- \(a | a\text{,}\) \(1| a\text{,}\) \(a | 0\text{.}\)
- Si \(a | b\) y \(b | a\) entonces \(a = \pm b\text{.}\)
- Si \(a | b\) y \(b | c\) entonces \(a | c\text{.}\)
- Si \(a | b\) y \(a | c\) entonces \(a | (mb+ny)\text{,}\) \(\forall m,n \in \mathbb{Z}\text{.}\)
- Si \(a | b\) y \(c | d\) entonces \(ac | bd\text{.}\)
- \(ac | bc\) si y sólo si \(a | b\text{.}\)