El Conjunto \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

Sección 3.2 El Conjunto \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

Definición 3.2.1.

Sea \(a \in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}\text{.}\) Se define la clase de \(a\) módulo \(n\) como el conjunto

\begin{equation*} \left[ a\right]_{n}=\left\lbrace b\in \mathbb{Z}:b\equiv a \ (\text{mod } n) \right\rbrace. \end{equation*}

Definición 3.2.2.

Se define \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) como el conjunto de clases de equivalencia módulo \(n\text{.}\) Es decir

\begin{equation*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\left\lbrace \left[ 0\right]_{n}, \left[ 1\right]_{n}, \left[ 2\right]_{n},... , \left[ n-1\right]_{n} \right\rbrace. \end{equation*}

Observación 3.2.3.

Sea \(a \in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}.\) Entonces

\(\left[ a\right]_{n}=\left\lbrace a+nt:t \in \mathbb{Z} \right\rbrace\text{.}\)
\(a \in \left[ a\right]_{n}\text{.}\)

Proposición 3.2.4.

Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} a \equiv b \ (\text{mod } n) \Leftrightarrow \left[ a\right]_{n}=\left[ b\right]_{n}. \end{equation*}

Demostración.

como \(a \in \left[ a\right]_{n}\) (Observación 3.2.3) y por hipótesis: \(\left[ a\right]_{n}=\left[ b\right]_{n}\text{,}\) entonces \(a \in \left[ b\right]_{n}\text{.}\) Esto implica que existe un entero \(t\text{,}\) tal que \(a=b+nt\text{.}\) Reordenando, se consigue \(nt=(a-b)\text{;}\) lo que implica \(a \equiv b \ (\text{mod } n)\text{.}\)

Se asumirá que \(a \equiv b \ (\text{mod } n)\text{.}\) Como \(\left[ a\right]_{n}\) y \(\left[ b\right]_{n}\) son conjuntos, se debe probar la doble contención para concluir la igualdad.

Se probará que \(\left[ a\right]_{n}\subseteq \left[ b\right]_{n}\text{.}\) Sea \(c \in \left[ a\right]_{n}\text{.}\) Por lo tanto, existe un entero \(t\) tal que \(c=a+nt\text{.}\) Reordenando, se consigue \(nt=c-a\text{;}\) lo que implica \(c \equiv a \ (\text{mod } n)\text{.}\) Ya que \(a \equiv b \ (\text{mod } n)\text{,}\) por transitividad se obtiene \(c \equiv b \ (\text{mod } n)\text{.}\) Así, existe un entero \(k\) tal que \(c=b+nk\text{.}\) Esto implica que \(c\in \left[ b\right]_{n}\text{.}\) Así, \(\left[ a\right]_{n}\subseteq \left[ b\right]_{n}\text{.}\)

Se demostrará que \(\left[ b\right]_{n}\subseteq \left[ a\right]_{n}\text{.}\) Sea \(c \in \left[ b\right]_{n}\text{.}\) Por lo tanto, existe un entero \(h\) tal que \(c=b+nh\text{.}\) Reordenando, se consigue \(nh=c-b\text{;}\) lo que implica \(c \equiv b \ (\text{mod } n)\text{.}\) Como \(a \equiv b \ (\text{mod } n)\text{,}\) por simetría se obtiene \(b \equiv a \ (\text{mod } n)\text{.}\) Finalmente, por transitividad (ya que \(c \equiv b \ (\text{mod } n)\)y \(b \equiv a \ (\text{mod } n)\)) se logra \(c \equiv a \ (\text{mod } n)\text{.}\) Así, existe un entero \(s\) tal que \(c=b+ns\text{.}\) Esto implica que \(c\in \left[ a\right]_{n}\text{.}\) Así, \(\left[ b\right]_{n}\subseteq \left[ a\right]_{n}\text{.}\)

Finalmente, si \(a \equiv b \ (\text{mod } n)\) entonces \(\left[ a\right]_{n}=\left[ b\right]_{n}\text{.}\)

Ejemplo 3.2.5.

El conjunto \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) está compuesto por seis clases de equivalencia módulo 6. Es decir \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\left\lbrace \left[ 0\right]_{6}, \left[ 1\right]_{6}, \left[ 2\right]_{6}, \left[ 3\right]_{6}, \left[ 4\right]_{6},\left[ 5\right]_{6}\right\rbrace.\)

Adicionalmente

\begin{align*} \left[0 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 0+6t: t\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-18,-12,-6,0,6,12,18,... \right\rbrace\\ \left[1 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 1+6k: k\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-17,-11,-5,1,7,13,19,... \right\rbrace\\ \left[2 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 2+6l: l\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-16,-10,-4,2,8,14,20,... \right\rbrace\\ \left[3 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 3+6h: h\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-15,-9,-3,3,9,15,21,... \right\rbrace\\ \left[4 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 4+6s: s\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-14,-8,-2,4,10,16,22,... \right\rbrace\\ \left[5 \right]_{6} \amp = \left\lbrace 4+6r: r\in \mathbb{Z} \right\rbrace= \left\lbrace ...-13,-7,-1,5,11,17,23,... \right\rbrace \end{align*}

En el conjunto \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) se define una suma y un producto como sigue (ver Definición 3.2.6).

Definición 3.2.6.

Sean \(\left[ a\right]_{n}, \left[ b\right]_{n} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\) Se define

\(\text{Suma:} \ \left[ a\right]_{n} +\left[ b\right]_{n}=\left[ a+ b\right]_{n}=\left[ r\right]_{n}\text{.}\)
\(r\) es el resto de la división entre \(a+b\) y \(n\text{.}\)
\(\text{Producto:} \ \left[ a\right]_{n} \cdot \left[ b\right]_{n}=\left[ a \cdot b\right]_{n}=\left[ r\right]_{n}\text{.}\)
\(r\) es el resto de la división entre \(a \cdot b\) y \(n\text{.}\)

Proposición 3.2.7.

Sean \(\left[ a\right]_{n}, \left[ b\right]_{n}, \left[ c\right]_{n}, \left[ d\right]_{n} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tales que \(\left[ a\right]_{n}= \left[ c\right]_{n}\) y \(\left[ b\right]_{n}= \left[ d\right]_{n}\text{.}\) Entonces

\(\left[ a+c\right]_{n}=\left[ b+d\right]_{n}\text{.}\)
\(\left[ a \cdot c \right]_{n}=\left[ b \cdot d\right]_{n}\text{.}\)

Es decir, la suma y producto en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) están bien definidas.

Demostración.

Por Proposición 3.2.4, las hipótesis pueden reescribirse como

\begin{equation*} \left[ a\right]_{n}=\left[ c\right]_{n} \Leftrightarrow a \equiv c \ (\text{mod } n), \end{equation*}

\begin{equation*} \left[ b\right]_{n}=\left[ d\right]_{n} \Leftrightarrow b \equiv d \ (\text{mod } n). \end{equation*}

Por propiedades de congruencia (Proposición 3.1.6), \(a+b \equiv c+d \ (\text{mod } n)\) y \(ab \equiv cd \ (\text{mod } n)\text{.}\) Finalmente; por Proposición 3.2.4, se concluye que \(\left[ a+c\right]_{n}=\left[ b+d\right]_{n}\) y \(\left[ a \cdot c \right]_{n}=\left[ b \cdot d\right]_{n}\) (respectivamente).

Ejemplo 3.2.8.

Note que

\begin{align*} \left[24 \right]_{17} + \left[43 \right]_{17} \amp = \left[67 \right]_{17} =\left[16 \right]_{6}, \text{ya que } 67 \equiv 16 \ (\text{mod } 17),\\ \left[7 \right]_{11} \cdot \left[8 \right]_{11} \amp = \left[56 \right]_{11} =\left[1 \right]_{11}, \text{ya que } 56 \equiv 1 \ (\text{mod } 11). \end{align*}

Nuevamente haremos uso de Sage. En esta oportunidad, podemos obtener la suma y producto de clases en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\) Debe seleccionar un valor para \(n \in \mathbb{N}\text{.}\)

Observación 3.2.9.

De la Proposición 3.2.10, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dotado de las operaciones suma y producto (Definición 3.2.6) es un anillo conmutativo y unitario.

Proposición 3.2.10.

Sean \(\left[ a\right]_{n}, \left[ b\right]_{n}, \left[ c\right]_{n} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\) Entonces \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dotado de las operaciones suma y producto, verifica:

Cerradura de la Suma: \(\left[ a\right]_{n}+\left[ b\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)
Conmutatividad de la Suma: \(\left[ a\right]_{n}+\left[ b\right]_{n}=\left[ b\right]_{n}+\left[ a\right]_{n}\text{.}\)
Asociatividad de la Suma: \((\left[ a\right]_{n}+\left[ b\right]_{n})+\left[ c\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}+(\left[ b\right]_{n}+\left[ c\right]_{n}).\)
Existencia de Elemento Neutro (Suma): Existe \(\left[ 0\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tal que para todo \(\left[ a\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{,}\) se verifica
\begin{equation*} \left[ a\right]_{n}+\left[ 0\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\text{.} \end{equation*}
Existencia de Elemento Inverso (Suma): Existe \(\left[ -a\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tal que para todo \(\left[ a\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{,}\) se verifica
\begin{equation*} \left[ a\right]_{n}+\left[ -a\right]_{n}=\left[ 0\right]_{n}\text{.} \end{equation*}
Cerradura del Producto: \(\left[ a\right]_{n}\cdot \left[ b\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)
Conmutatividad del Producto: \(\left[ a\right]_{n}\cdot \left[ b\right]_{n}=\left[ b\right]_{n}\cdot \left[ a\right]_{n}\text{.}\)
Asociatividad del Producto: \((\left[ a\right]_{n}\cdot \left[ b\right]_{n})\cdot \left[ c\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\cdot (\left[ b\right]_{n}\cdot \left[ c\right]_{n}).\)
Existencia de Elemento Neutro (Producto): Existe \(\left[ 1\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tal que para todo \(\left[ a\right]_{n}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{,}\) se verifica
\begin{equation*} \left[ a\right]_{n}\cdot \left[ 1\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\text{.} \end{equation*}
Distribuitividad: \((\left[ a\right]_{n}+ \left[ b\right]_{n})\cdot \left[ c\right]_{n}=\left[ a\right]_{n}\cdot \left[ c\right]_{n}+\left[ b\right]_{n}\cdot \left[ c\right]_{n}.\)

Observación 3.2.11.

¿Existirá el inverso multiplicativon de una clase \(\left[ a\right]_{n}\text{?}\) Lo veremos en la sección siguiente: Inversos Multiplicativos e Idempotentes en \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{.}\)