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Sección 4.5 Polinomios Irreducibles

Definición 4.5.1.
Se dice que el polinomio no constante \(p(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) es irreducible en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\) si
\begin{equation*} p(x)=h(x)s(x)\Rightarrow h(x) \in (\mathbb{R}\left[ x\right])^{*} \lor s(x) \in (\mathbb{R}\left[ x\right])^{*}. \end{equation*}
Es decir, \(h(x)\) o \(s(x)\) son constantes reales no nulas.
Observación 4.5.2.
En el caso de que existan polinomios \(h(x), s(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) tales que \(p(x)=h(x)s(x)\text{,}\) \(1 \le\) grad \(h(x) <\) grad \(p(x)\) y \(1 \le\) grad \(s(x) <\) grad \(p(x)\text{;}\) entonces se dirá que \(p(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) es reducible en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\)
Observación 4.5.3.
El polinomio \(p(x)=ax+b\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) es irreducible en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\)
Observación 4.5.4.
El polinomio \(q(x)=ax^{2}+bx+c\in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) con discriminante negativo ( \(\triangle < 0\)) es irreducible en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\)

El siguiente resultado corresponde a una adaptación de Lema de Gauss para polinomios irreducibles.

De la Proposición 4.5.4, se desprende el siguiente resultado.

El siguiente resultado corresponde al Teorema de Factorización Única en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\) En particular; este resultado se extiende para \(R\left[ x\right]\text{,}\) donde \(R\) es un anillo cualquiera.

Vale la pena volver a mencionar que dos polinomios: \(p(x), q(x)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) son asociados si existe una constante real no nula \(c\text{,}\) tal que \(p(x)=cq(x)\text{.}\)

A continuación, se exhiben criterios y resultados que permitirán determinar si un polinomio \(p(x)\in R\left[ x\right]\) es irreducible en \(R\left[ x\right]\text{.}\) El anillo \(R\) será especificado en cada caso.

Los polinomios \(p(x)= x^{3}+x+1, q(x)=x^{2}+x+1 \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\left[ x\right]\) son irreducibles en \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\left[ x\right]\text{.}\) Note que
\begin{equation*} p(\overline{0})=\overline{1}, p(\overline{1})=\overline{1}, \end{equation*}
\begin{equation*} q(\overline{0})=\overline{1}, q(\overline{1})=\overline{1}. \end{equation*}
Es decir, \(p(x)\) y \(q(x)\) no admiten raíces en \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\text{.}\) Como \(p(x)\) y \(q(x)\) son de grado tres y dos respectivamente, por Proposición 4.5.8, son irreducibles en \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\left[ x\right].\)

Observación: \(\overline{a}\) denota la clase de \(a\) módulo 2.

Probaremos que el polinomio \(p(x)=2x^{10}-14x-21 \in \mathbb{Z}\left[ x\right]\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

Tomando al primo \(p=7\text{,}\) se obtiene que \(7 |-21\text{,}\) \(7|-14\text{,}\) \(7\nmid 2\) y \(49\nmid -21\text{.}\) Por el Criterio de Einsestein, \(p(x)\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right].\)

Probaremos que el polinomio \(q(x)=3x^{3}+4x^{2}+4x+2\in \mathbb{Z}\left[ x\right]\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

Tomando al primo \(p=2\text{,}\) se obtiene que \(2 |2\text{,}\) \(2|4\text{,}\) \(2\nmid 3\) y \(4\nmid 2\text{.}\) Por el Criterio de Einsestein, \(q(x)\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right].\)

Sin embargo, hay ejercicios rebuscados que requieren sutiles cambios de variables para poder utilizar el Criterio de Einsestein. Considere la Proposición 7.5.15

Probaremos que el polinomio ciclotómico \(\Phi_p(x)=\dfrac{x^{p}-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1 \in \mathbb{Z}\left[ x\right]\) con \(p\) primo es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

En efecto, no podemos aplicar el Criterio de Einsestein de manera directa. Pero haremos uso de la Proposición 4.5.14. Consideraremos el polinomio \(\Phi_p(x+1)\text{.}\) Por Teorema del Binomio

\begin{equation*} \Phi_p(x+1)=\dfrac{(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}=\dfrac{ \displaystyle\sum_{k=0}^p \displaystyle\binom{p}{k}x^{k}-1}{x}=\dfrac{x^{p}+\displaystyle\binom{p}{p-1}x^{p-1}+...+\displaystyle\binom{p}{1}x+1-1}{x}. \end{equation*}
Simplificando
\begin{equation*} \Phi_p(x+1) = x^{p-1}+\displaystyle\binom{p}{p-1}x^{p-2}+...+\displaystyle\binom{p}{2}x+\displaystyle\binom{p}{1}. \end{equation*}

Tomando al primo \(p\text{,}\) se sigue que \(p| \binom{p}{k}\text{,}\) \(\forall\) \(k=1,2,...,p-1\text{.}\)

Adicionalmente, \(p \nmid 1\) y \(p^{2}\nmid \binom{p}{1}\) (es decir, \(p^{2} \nmid p\)). Por Criterio de Einsestein, \(\Phi_p(x+1)\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

Finalmente, por Proposición 4.5.14, se tiene que \(\Phi_p(x)\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{,}\) dado que \(\Phi_p(x+1)\) también lo es.

El polinomio del Ejemplo 4.5.13, \(q(x)=3x^{3}+4x^{2}+4x+2\in \mathbb{Z}\left[ x\right]\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\) Ya que mcd \((3,4,2)=1\text{,}\) por Proposición 4.5.16, \(q(x)\) es irreducible en \(\mathbb{Z}\left[ x\right]\text{.}\)

Veamos unos ejemplos de como aplicar Teorema 4.5.7 (Factorización Única).

Considere el polinomio \(p(x)=x^{4}-25\in \mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\) Su factorización en polinomios irreducibles sobre \(\mathbb{R}\left[ x\right]\) es
\begin{equation*} p(x)=(x+5)(x-5)(x^{2}+5). \end{equation*}
Sin embargo, la factorización de \(p(x)\) en \(\mathbb{C}\left[ x\right]\) es distinta. Se tiene que \(p(x)=(x+5)(x-5)(x+5i)(x-5i).\)
Descompondremos el polinomio \(p(x)=(x^{4}+4)(x^{8}-x^{7}+48x^{2}-72x+24)\in \mathbb{R}\left[ x\right]\) como producto de factores irreducibles en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

En efecto, \(x^{4}+4\) es reducible sobre \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\) Esto, pues

\begin{equation*} x^{4}+4=( x^{2}+2x+2 )(x^{2}-2x+2 ), \end{equation*}
y claramente \(x^{2}+2x+2\) y \(x^{2}+2x+2\) no son unidades de \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{.}\) Ahora, ambas expresiones son irreducibles en \(\mathbb{R}\left[ x\right]\text{,}\) pues su discriminante es negativo (ya que son polinomios de grado 2).

Como \(x^{2}+2x+2\) y \(x^{2}+2x+2\) son irreducibles en \(\mathbb{R}\left[ x\right],\) entonces también deben serlo en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\text{.}\)

Finalmente, por Criterio de Raíces Racionales; se consigue que \(1\) es raíz de \(x^{8}-x^{7}+48x^{2}-72x+24\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} x^{8}-x^{7}+48x^{2}-72x+24=(x-1)(x^{7}+48x-24). \end{equation*}

Adicionalmente; \(x^{7}+48x-24\) es irreducible en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\) por el Criterio de Einsestein (basta tomar \(p=3\)). Por lo tanto, la descomposición como producto de factores irreducibles de \(p(x)\) en \(\mathbb{Q}\left[ x\right]\) es

\begin{equation*} p(x)=( x^{2}+2x+2 )(x^{2}-2x+2 )(x-1)(x^{7}+48x-24). \end{equation*}