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Sección 1.2 Introducción a la Teoría de Conjuntos

Georg Cantor, padre de la Teoría de Conjuntos (junto a Dedekind y Frege); alude a que el concepto de Conjunto no está definido formalmente, pero -que dependiendo del contexto- es intuitivamente claro y alude a una "colección de objetos".

  1. La colección \(\mathcal{A}= \left\lbrace 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...\right\rbrace\) -intuitivamente- es el conjunto de todos los números primos.
  2. La colección \(\mathcal{B}=\left\lbrace \text{Hiperbola, Elipse, Parábola, Circunferencia}\right\rbrace\) es el conjunto de secciones cónicas.
  3. La colección \(\mathcal{C}=\left\lbrace x\in \mathbb{R}:x^{2}-5x+6=0\right\rbrace\) es el conjunto es el conjunto solución de la ecuación cuadrática \(x^{2}+5x+6\) en \(\mathbb{R}\text{.}\)
  4. La colección \(\mathcal{D}=\left\lbrace m\in \mathbb{N}: m\le n \land \text{mcd}(m,n)=1\right\rbrace\) es el conjunto de números naturales menores y coprimos con \(n\text{.}\)

Los objetos que constituyen un conjunto se denominan elementos. Por convención, emplearemos letras mayúsculas para denotar un conjunto y minúsculas para los elementos. Si \(x\) es un elemento de \(\mathcal{S}\text{,}\) entonces \(x\in \mathcal{S}\text{.}\) Si \(x\) no es un elemento de \(\mathcal{S}\text{,}\) entonces \(x\notin \mathcal{S}\) (alternativamente, \(\overline{x\in \mathcal{S}}\)).

Un conjunto \(\mathcal{S}\) puede ser definido por comprensión (exhibiendo una característica de los elementos de \(\mathcal{S}\)) o por extensión (escribiendo explícitamente todos los elementos de \(\mathcal{S}\)).

Del Ejemplo 1.2.1, \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) están definidos por extensión, mientras que \(\mathcal{C}\) y \(\mathcal{D}\) lo están por comprensión.
Escriba por comprensión el conjunto \(\mathcal{A}\text{.}\) Exprese por extensión la colección \(\mathcal{C}\text{.}\) ¿Cual es la cardinalidad (cantidad de elementos) en \(\mathcal{D}\text{?}\)

Subsección 1.2.1 Igualdad y Subconjunto

Para lo que viene, será importante estar familiarizado con el concepto de proposiciones lógicas y cuantificadores. Considere \(A,B\text{;}\) conjuntos.

Definición 1.2.4.
(Subconjunto o Inclusión): \(A\subseteq B \ \ \Leftrightarrow \ \ \forall \ \ x , \ \ x\in A \Rightarrow x\in B\text{.}\)

Es decir, \(A\) es un subconjunto de (o está incluido en) \(B\text{.}\)

Observación 1.2.5.
Si \(A\subseteq B\) y \(A\neq B\text{,}\) entonces \(A \subset B\text{.}\)

Es decir, \(A\) es subconjunto propio de \(B\text{.}\)

Definición 1.2.6.
(Igualdad): \(A=B \Leftrightarrow \forall \ \ x , \ \ x\in A \Leftrightarrow x\in B\text{.}\)

Es decir; si \(A\) y \(B\) tienen los mismos elementos, entonces son iguales.

Por Definición 1.2.6,
\begin{align*} A=B \amp \Leftrightarrow \forall \ \ x , \ \ x\in A \Leftrightarrow x\in B\\ \amp \Leftrightarrow \forall \ \ x , \left[x\in A \Rightarrow x\in B\right] \land \left[x\in A \Rightarrow x\in B \right]\\ \amp \Leftrightarrow \left[\forall \ \ x , x\in A \Rightarrow x\in B\right] \land \left[\forall \ \ x, x\in A \Rightarrow x\in B\right]\\ \amp \Leftrightarrow A \subseteq B \land A \subseteq B \end{align*}
Ejercicio.

Note que \(\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace =\left\lbrace 3,2,1\right\rbrace =\left\lbrace 1,1,1,1,2,3,3\right\rbrace\text{.}\) En conjuntos no importa el orden, ni la cantidad de repeticiones de los elementos.

Subsección 1.2.2 Conjunto Vacío y Universo

Definición 1.2.9.
(Conjunto Vacío) Se define el conjunto vacío como
\begin{equation*} \varnothing:=\left\lbrace x:\land \ x\neq x \right\rbrace. \end{equation*}
Observación 1.2.10.
El conjunto vacío no tiene ningún elemento y es único.
Observación 1.2.11.
\(\varnothing \subseteq \mathcal{S}\) ( \(\mathcal{S}\) es un conjunto arbitrario).
Si \(p:x\in \varnothing\text{,}\) una proposición lógica. ¿Cuál es su valor de verdad? ¡Falso!, pues \(\varnothing\) no tiene elementos.
Definición 1.2.13.
(Conjunto Universo) Se asumirá la existencia de un conjunto \(U\) (de referencia), en donde viven todos los elementos con los cuales se va a trabajar. ¡El conjunto universo es todo!
Si \(q:x\in U\text{,}\) una proposición lógica. ¿Cuál es su valor de verdad? ¡Verdadero!, pues \(U\) es el conjunto universo (que contiene a todos los elementos). Además; del Ejemplo 1.2.12, \(\overline{q} \Leftrightarrow p.\)

Subsección 1.2.3 Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn exhibe de manera grafica la relación lógica existente entre conjuntos. Permite visualizar de manera certera, las relaciones entre conjuntos. Fueron introducidos por el matemático britanico John Venn (ver Figura 1.2.15).

Figura 1.2.15. Diagramas de Venn para los conjuntos \(A,B,C\text{.}\)

Subsección 1.2.4 Operaciones con Conjuntos

Considere los conjuntos \(A,B,C, U\) (referencial o universo). Definiremos ciertas operaciones entre estos conjuntos, los cuales nos permiten definir nuevas colecciones.

Definición 1.2.16.
(Unión):
\begin{equation*} \forall \ x, x \in A\cup B \Leftrightarrow x\in A \ \lor \ x\in B\text{.} \end{equation*}
Es decir, \(A\cup B\) es el conjunto que reúne los elementos que están en \(A\) con los aquellos que están en \(B\text{.}\) Expresado mediante diagramas de Venn (ver Figura 1.2.17).
Figura 1.2.17. Diagrama de Venn para la unión entre \(A\) y \(B\) (área pintada).
Definición 1.2.18.
(Intersección):
\begin{equation*} \forall \ x, x \in A\cap B \Leftrightarrow x\in A \ \land \ x\in B\text{.} \end{equation*}
Es decir, \(A\cap B\) es el conjunto que reúne los elementos que están en \(A\) tanto como en \(B\text{.}\) Expresado mediante diagramas de Venn (ver Figura 1.2.19).
Figura 1.2.19. Diagrama de Venn para la intersección entre \(A\) y \(B\) (área pintada).
Observación 1.2.20.
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos si no tienen elementos en común. Es decir, \(A\cap B=\varnothing\text{.}\)
Definición 1.2.21.
(Complemento)
\begin{equation*} \forall x , x\in A^{c} \Leftrightarrow x\in U \ \land \ x\notin A\text{.} \end{equation*}

\(A^{c}\) denota el complemento de \(A\text{;}\) formado por los elementos que no están en \(A\text{.}\)

Considere el conjunto universo \(U=\mathbb{Z}\) y \(A=\left\lbrace n\in \mathbb{Z}:n\text{ es par} \right\rbrace\text{.}\) El complemento de \(A\) está dado por \(A^{c}=\left\lbrace n\in \mathbb{Z}:n \text{ es impar} \right\rbrace\) .

El complemento de un conjunto, expresado mediante diagramas de Venn está dado por la Figura 1.2.23

Figura 1.2.23. Diagrama de Venn para el complemento de \(A\) (área pintada).
Definición 1.2.24.
(Diferencia):
\begin{equation*} A \backslash B=A\cap B^{c}\text{.} \end{equation*}
Es decir, \(A \backslash B\) es el conjunto que reúne los elementos que están en \(A\) y los que no están en \(B\text{.}\) Expresado mediante diagramas de Venn (ver Figura 1.2.25)
Figura 1.2.25. Diagrama de Venn para la diferencia entre \(A\) y \(B\) (área pintada).
Definición 1.2.26.
(Diferencia Simétrica)
\begin{equation*} A \triangle B= ( A \backslash B) \cup ( B \backslash A)\text{.} \end{equation*}
Es decir; un elemento \(x\) pertenece a \(A \triangle B\) si y solo si \(x\) está en A, pero no en \(B\) o si \(x\) está en \(B\text{,}\) pero no en \(A\text{.}\) En diagramas de Venn (ver Figura 1.2.27).
Figura 1.2.27. Diagrama de Venn para la diferencia simétrica entre \(A\) y \(B\) (área pintada).
Sean \(A=\left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\text{,}\) \(B=\left\lbrace 1,2,5,6,7\right\rbrace\text{,}\) \(C=\left\lbrace 2,3,5,8\right\rbrace\)y \(U=\left\lbrace1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace\text{.}\) Entonces
  1. \(A^{c}\cup B^{c} = \left\lbrace 1,4,5,6,7,8 \right\rbrace.\)
  2. \(B^{c} \backslash C^{c} = \varnothing.\)
  3. \(A\cap C= \left\lbrace 2\right\rbrace.\)
  4. \((B\cap C^{c})^{c}= \left\lbrace 2,3,4,5,8 \right\rbrace.\)
  5. \((A\triangle B)\triangle C = \left\lbrace 2,4,6,7,8 \right\rbrace.\)

A continuación, exhibimos una serie de propiedades sobre operaciones en conjuntos. Nos referimos al Álgebra de Conjuntos. La demostración de estas proposiciones es análoga a las Tautologías Notables (Álgebra de Proposiciones). Considere los conjuntos \(A,B,C\) y \(U\) (de referencia o universal).

  1. Conmutatividad: \(A\cup B=B\cup A\) y \(A\cap B=B\cap A.\)
  2. Asociatividad: \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\) y \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C.\)
  3. Distribuitividad: \(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\) y \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).\)
  4. Idempotencia: \(A\cup A=A\) y \(A\cap A=A .\)
  5. Identidad: \(A \cup \varnothing = A\text{,}\) \(A\cap \varnothing=\varnothing\text{,}\) \(A\cup U=U\) y \(A\cap U=A.\)
  6. Del Complemento: \((A^{c})^{c}=A, A\cup A^{c}=U, A\cap A^{c}=\varnothing, U^{c}=\varnothing\) y \(\varnothing^{c}=U.\)
  7. Absorción: \(A\cap (A\cup B)=A\) y \(A\cup (A\cap B)=A.\)
  8. Inclusión \((A\cap B) \subseteq A \subseteq (A\cup B)\) y \((A\cap B)\subseteq B\subseteq (A\cup B).\)
  9. Leyes de De Morgan: \((A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\) y \((A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c} .\)
  10. De la Diferencia Simétrica: \(A\triangle B=B\triangle A\text{,}\) \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle (B\triangle C)\text{,}\) \(A\triangle A=\varnothing\) y \(A\triangle \varnothing=A\text{.}\)
Usando Álgebra de Conjuntos, probaremos que
\begin{equation*} (A\cap B)^{c} \backslash (A^{c} \cup B)=A\backslash B. \end{equation*}
En efecto
\begin{align*} (A\cap B)^{c} \backslash (A^{c} \cup B) \amp = (A\cap B)^{c} \cap (A^{c} \cup B)^{c}\\ \amp = (A^{c} \cup B^{c}) \cap (A \cap B^{c})\\ \amp = (A^{c} \cup B^{c}) \cap (B^{c}\cap A)\\ \amp = \left[(A^{c} \cup B^{c}) \cap B^{c}\right] \cap A\\ \amp = B^{c} \cap A\\ \amp = A \cap B^{c}\\ \amp = A\backslash B \end{align*}
Use Álgebra de Conjuntos para simplificar la expresión
\begin{equation*} (A\cap B^{c}) \cup (A\cap B)\cup (B\cap A^{c})\text{.} \end{equation*}

Podemos construir un diccionario Lógica - Conjunto; el cual muestra la relación entre los conectivos lógicos y las operaciones con conjuntos. Se tiene que

  1. \(\Rightarrow\) (Lógica) es \(\subseteq\) (Conjuntos).
  2. \(\Leftrightarrow\) (Lógica) es \(=\) (Conjuntos).
  3. \(\lor\) (Lógica) es \(\cup\) (Conjuntos).
  4. \(\land\) (Lógica) es \(\cap\) (Conjuntos).
  5. \(\veebar\) (Lógica) es \(\triangle\) (Conjuntos).
  6. \(-\)(Lógica) es \(^{c}\) (Conjuntos).

Subsección 1.2.5 Cardinalidad de un Conjunto

Es natural preguntarse cual es la cantidad de elementos de un conjunto no vacío. Esto nos motiva a introducir el concepto de cardinal de un conjunto.

Definición 1.2.31.
(Cardinal) Sea \(A\text{,}\) un conjunto no vacío. El cardinal de \(A\) es el número de elementos en el conjunto y se denota por \(\left| A\right|\text{.}\)
Observación 1.2.32.
Un conjunto \(A\) se dice finito si su cardinal es finito.

Nos interesa saber cual es la cardinalidad de \(A\cap B\) y \(A\cup B\text{.}\) Para esto, consideraremos el siguiente resultado (Proposición 1.2.33)

Subsección 1.2.6 Conjunto Potencia, Particiones y Producto Cartesiano

Definición 1.2.34.
Sea \(\mathcal{S}\) un conjunto. Se denomina conjunto potencia de \(\mathcal{S}\) (y se denota \(\mathcal{P}(\mathcal{S})\)) a la colección de todos los subconjuntos de \(\mathcal{S}\text{.}\) Es decir
\begin{equation*} \forall \ X, X\in \mathcal{P}(\mathcal{S}) \ \Leftrightarrow X\subseteq \mathcal{S}. \end{equation*}
Observación 1.2.35.
\(\varnothing, \mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{S}).\)
Sea \(\mathcal{S}=\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\text{.}\) Determinaremos \(\mathcal{P}(\mathcal{S})\) para después responder la interrogante: ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia?

En efecto

\begin{equation*} \mathcal{P}(\mathcal{S}) =\left\lbrace\left\lbrace 1\right\rbrace, \left\lbrace 2\right\rbrace , \left\lbrace 3\right\rbrace , \left\lbrace 1,2\right\rbrace , \left\lbrace 1,3\right\rbrace , \left\lbrace 2,3\right\rbrace ,\mathcal{S} ,\varnothing \right\rbrace. \end{equation*}

La cantidad de elementos de \(\mathcal{P}(\mathcal{S})\) es \(8\text{.}\) Esto nos motiva a introducir el siguiente resultado (Proposición 1.2.37).

Sea \(\mathcal{S}=\varnothing\text{.}\) Determinaremos \(\mathcal{P}(\mathcal{S})\text{.}\)

Se sigue que

\begin{equation*} \mathcal{P}(\mathcal{S})=\left\lbrace \varnothing\right\rbrace. \end{equation*}
Determine \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)))\text{.}\)
En 1, note que
\begin{align*} X \in \mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B) \amp \Leftrightarrow X \in \mathcal{P}(A) \land X \in \mathcal{P}(B)\\ \amp \Leftrightarrow X \subseteq A \land X \subseteq B\\ \amp \Leftrightarrow X \subseteq A \cap B\\ \amp \Leftrightarrow X \in \mathcal{P}(A \cap B) \end{align*}
Finalmente, por igualdad de conjuntos; se concluye que \(\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)\text{.}\)

En 2, vea que

\begin{align*} X \in \mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B) \amp \Rightarrow X \in \mathcal{P}(A) \lor X \in \mathcal{P}(B)\\ \amp \Rightarrow X \subseteq A \lor X \subseteq B\\ \amp \Rightarrow X \subseteq A \cup B\\ \amp \Rightarrow X \in \mathcal{P}(A \cup B) \end{align*}
Por definición de subconjunto, se concluye que \(\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B).\)
¿Por qué \(\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)\neq \mathcal{P}(A\cup B)\text{?}\)

Dado que estamos familiarizados con el conjunto potencia, podemos introducir el concepto de partición.

Definición 1.2.42.
(Partición de Conjuntos) Se dice que \(\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(A)\) es una partición de \(A\) si
  1. \(\forall \ B \in \mathcal{C}, B\neq \varnothing.\)
  2. Los elementos de \(\mathcal{C}\) son disjuntos a pares: Para todo \(B,B'\in \mathcal{C}\) tales que \(B \neq B'\text{,}\) entonces \(B \cap B'=\varnothing.\)
  3. \(\mathcal{C}\) cubre \(A\text{:}\) \(\displaystyle\bigcup_{B \in \mathcal{C}}{B}=A\text{.}\)
El conjunto \(A=\left\lbrace x,y,z\right\rbrace\) tiene cinco distintas particiones. Estas son
  1. \(\left\lbrace \left\lbrace x\right\rbrace, \left\lbrace y\right\rbrace, \left\lbrace z\right\rbrace \right\rbrace.\)
  2. \(\left\lbrace \left\lbrace x,y\right\rbrace, \left\lbrace z\right\rbrace \right\rbrace.\)
  3. \(\left\lbrace \left\lbrace x,z\right\rbrace, \left\lbrace y\right\rbrace \right\rbrace.\)
  4. \(\left\lbrace \left\lbrace x\right\rbrace, \left\lbrace y,z\right\rbrace \right\rbrace.\)
  5. \(\left\lbrace \left\lbrace x,y,z\right\rbrace \right\rbrace .\)
Si \(A=\left\lbrace x,y,z\right\rbrace\text{,}\) entonces no son particiones
  1. \(\left\lbrace \left\lbrace x\right\rbrace, \left\lbrace x,y,z\right\rbrace \right\rbrace.\)
  2. \(\left\lbrace \left\lbrace x\right\rbrace, \left\lbrace y\right\rbrace \right\rbrace.\)

Para introducir el concepto de Producto Cartesiano, será importante recordar que si \((a,b)\) y \((c,d)\) son pares ordenados tales que \((a,b)=(c,d)\) entonces \(a=c\) y \(b=d\text{.}\)

Definición 1.2.45.
(Producto Cartesiano) Sean \(A,B\text{;}\) dos conjuntos no vacíos. Se define el producto cartesiano entre \(A\) y \(B\) como
\begin{equation*} A \times B: =\left\lbrace (a,b): a\in A \land b \in B \right\rbrace. \end{equation*}

De la Definición 1.2.45, se deduce de que los elementos del producto cartesiano entre \(A\) y \(B\) son pares ordenados de la forma \((a,b)\text{;}\) donde la primera componente vive en \(A\text{,}\) mientras que la segunda pertenece a \(B\)

.

Note que \((a,b)\) no necesariamente es \((b,a)\text{,}\) por lo que \(A\times B \neq B \times A\) (el producto cartesiano es anticonmutativo).

Sea \(A=\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\) y \(B=\left\lbrace 4,5\right\rbrace\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} A \times B = \left\lbrace (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) \right\rbrace. \end{equation*}
\begin{equation*} B \times A = \left\lbrace (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3) \right\rbrace. \end{equation*}

Si \(A\) y \(B\)son conjuntos no vacíos, ¿como es la gráfica de los elementos de un producto cartesiano? Dado que los elementos de \(A\times B\) son pares ordenados, la grafica de estos elementos se realiza en un sistema de coordenadas rectangulares.

Sean \(P=\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace\) y \(Q=\left\lbrace a,b,c,d,e\right\rbrace\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} P \times Q = \left\lbrace (1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (1,e), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (2,e), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d), (3,e)\right\rbrace. \end{equation*}

La gráfica de los elementos de \(P\times Q\) es

Figura 1.2.49. Gráfica de \(P\times Q\text{.}\)

Subsección 1.2.7 Cuantificadores

Para introducir el concepto de cuantificadores, es importante enfatizar de que estos últimos no se emplean con proposiciones lógicas. Se utilizan con "afirmaciones abiertas" denominadas funciones proposicionales. Para tales afirmaciones, carece de sentido preguntarse cual es su valor de verdad.

No obstante; al combinar una función proposiconal con cuantificadores, se obtiene una proposición lógica que posee un valor de verdad.

Son ejemplos de funciones proposicionales
  1. \(p(x):x\) es mujer.
  2. \(q(x):x=\pi\text{.}\)
  3. \(r(x):x\) es un divisor de 20.
  4. \(s(x,y,z,n):x^n + y^n =z^n\text{.}\)

A continuación, exhibimos los distintos tipos de cuantificadores combinados con funciones proposicionales.

Definición 1.2.52.
(Cuantificador Universal) Sea \(p(x)\) una función proposicional y \(A\) un conjunto. La expresión \((\forall \ x \in A) \ p(x)\) se lee "para todo \(x \in A\text{,}\) se cumple \(p(x)\)". \(\forall\text{,}\) es el cuantificador universal.
Sea \(A=\mathbb{R}\) y \(p(x):x+2=5\text{.}\) Entonces \((\forall \ x \in A) \ p(x)\) es falsa. Esto, pues \(p(1)=3\neq 5\text{.}\)

Se debe hacer énfasis de que en presencia del cuantificador universal, basta que un valor \(x \in A\) no cumpla \(p(x)\text{;}\) para que la expresión \((\forall \ x \in A) \ p(x)\) sea falsa.

Sea \(A=\mathbb{R}\) y \(q(x):x^{2}-1=(x-1)\cdot (x+1)\text{.}\) Entonces \((\forall \ x \in A) \ q(x)\) es verdadera.
Definición 1.2.55.
(Cuantificador Existencial) Sea \(p(x)\) una función proposicional y \(A\) un conjunto. La expresión \((\exists \ x \in A) \ p(x)\) se lee "existe \(x \in A\text{,}\) tal que se cumple \(p(x)\)". \(\exists\text{,}\) es el cuantificador existencial.
Sea \(A=\mathbb{R}\) y \(p(x):x+1=8\text{.}\) Entonces \((\exists \ x \in A) \ p(x)\) es verdadera. Esto, pues \(p(7)=8=8\text{.}\)

Se debe hacer énfasis de que en presencia del cuantificador existencial, basta que un valor \(x \in A\) si cumpla \(p(x)\text{;}\) para que la expresión \((\exists \ x \in A) \ p(x)\) sea verdadera.

Sea \(A=\mathbb{R}\) y \(q(x):x^{2}+1=0\text{.}\) Entonces \((\exists \ x \in A) \ q(x)\) es falsa.
Definición 1.2.58.
(Cuantificador de Existencia y Unicidad) Sea \(p(x)\) una función proposicional y \(A\) un conjunto. La expresión \((\exists ! \ x \in A) \ p(x)\) se lee "existe un único \(x \in A\) tal que se cumple \(p(x)\)". \(\exists !\text{,}\) es el cuantificador de existencia y unicidad.

Adicionalmente, el cuantificador de existencia y unicidad se puede definir como

\begin{equation*} (\exists ! x) p(x) \Leftrightarrow [\exists x \ p(x)] \wedge [\forall x \ \forall y (p(x) \wedge p(y) \Rightarrow x= y)]. \end{equation*}
Sea \(A=\left\lbrace -1,1,2,3\right\rbrace\) y \(p(x):x^{2}=x\text{.}\) Entonces \((\exists ! \ x \in A) \ p(x)\) es verdadera. Solo \(1\) verifica \(1^{2}=1\text{.}\)
Del Ejemplo 1.2.61, sea \(A=\left\lbrace 0,1,2,3\right\rbrace\) y \(p(x):x^{2}=x\text{.}\) Entonces \((\exists ! \ x \in A) \ p(x)\) es falsa. \(0\) y \(1\) verifican \(0^{2}=0\) y \(1^{2}=1\text{.}\) Este hecho contradice la unicidad del cuantificador.
Definición 1.2.61.
(Negación de Cuantificadores) Sea \(p(x)\) una función proposicional. Se define la negación de los cuantificadores
  1. \(\overline{(\forall \ x \in A) \ p(x)} \Leftrightarrow (\exists \ x \in A) \ \overline{p(x)}.\)
  2. \(\overline{(\exists \ x \in A) \ p(x)} \Leftrightarrow (\forall \ x \in A) \ \overline{p(x)}.\)
  3. \(\overline{(\exists ! \ x \in A) \ p(x)} \Leftrightarrow (\forall x \ \overline{p(x)}) \vee [\exists x \ \exists y, (p(x) \wedge p(y) \wedge x\neq y)].\)
Consideremos la función proposicional
\begin{equation*} p(x,y):\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in \mathbb{R}:x\cdot y=4\text{.} \end{equation*}
Determinaremos la veracidad o falsedad de \(p(x,y)\) y la negación \(\overline{p(x,y)}\text{.}\)

La función proposicional es falsa, ya que si \(x=0\) entonces no existe ningún \(y\in \mathbb{R}\) tal que \(x\cdot y=4.\) La negación es:

\begin{equation*} \overline{p(x,y)}:\exists x\in \mathbb{R}, \forall y\in \mathbb{R}:x\cdot y\neq 4. \end{equation*}
Considere la función proposicional
\begin{equation*} p(n,m):\exists n\in \mathbb{Z}, \forall m\in \mathbb{Z}:n\cdot m=0\text{.} \end{equation*}
Determine la veracidad o falsedad de \(p(n,m)\) y la negación \(\overline{p(n,m)}\text{.}\)